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1、湖北省宜昌市葛洲坝中学2021届高三数学9月月考试题 考试时间：2020年9月一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1若全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为( )A B C D2已知平面向量，且，则（ ）ABCD3设，则（ ）A B C D4周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（ ）A B C D5P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）ABC2D6.已知双
2、曲线：的右焦点为，若以（为坐标原点）为直径的圆被双曲线的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ）ABCD27已知函数满足，且当时，成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD8若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是( )ABCD二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.)9下列命题中正确的是（ ）A命题的否定B.若随机变量服从正态分布，则；C根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则D若随机变量，且，则10下列叙述不正确的是（ ）A的解是B“”是“”的充要条件C已知，
3、则“”是“”的充分不必要条件D函数的最小值是 11已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A点的坐标为B若直线过点，则C若，则的最小值为D若，则线段的中点到轴的距离为12设函数，给定下列结论，其中是正确的是（ ）A不等式的解集为B函数在单调递增，在单调递减C当时，恒成立，则D若函数有两个极值点，则实数三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13展开式中，常数项的值为_.14.为贯彻“科学防疫”，学校实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有_种不同的安排方法.(用数字作答)15若不等式2xln x+3x2ax对x(0，)恒成立，则实数a的
4、取值范围是_ 16 已知双曲线M：的渐近线是边长为1的菱形的边，所在直线.若椭圆N：（）经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则_.四、解答题（本大题共6题，证明和演算要写过程）17（本题10分）在中，内角的对边分别为，设平面向量，且（）求；（）若，求面积.18 （本题12分）已知数列满足，（）.（1）证明：为等差数列；（2）设（），求数列的前n项和.19.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，E是上的点.（1）求证：平面平面；（2）二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.20（本题12分）已知椭圆C：的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切（1
5、）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线yk（x2）（k0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由21（本题12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间
6、不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公
7、式其中）22（本题12分）设函数.（1）若在点处的切线为，求的值；（2）求的单调区间；（3）若，求证：在时，. 答案1-5BBDAC 6-8 ABC9、ABC 10、ABCD 11、BCD 12ACD因为函数，定义域，所以，则，对于A，即，即，故A正确；对于B，当时，单调递增，故B错误；对于C，若时，总有恒成立，则，在上恒成立，即，令，则，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故成立.对于D，函数有两个极值点，则有两个零点，即，则，令，则，在递增，在单调递减，即，13、84 14、 12015.16、 17、（1）因为，所以，即，即，根据正弦定理得，所以，所以 ； （2）由余弦定理，
8、又，所以，所以18、（1）因为，是一个与n无关的常数，是以为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得，（），（），.19、（1）证明：平面，平面，又，平面，平面，平面平面.（2）如图，以C为原点，取中点F，分别为x轴y轴z轴正向，建立空间直角坐标系，则，.设，则，取，则，为面的法向量.设为面的法向量，则，即，取，则，依题意，则.于是，.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）由e，得，即ca， 又因为以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22.所以椭圆的方程为1.（2）由得（13k2）x
9、212k2x12k260，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1x2，x1x2，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得2（）为定值，则有（x1m，y1）（x2m，y2）（x1m）（x2m）y1y2（x1m）（x2m）k2（x12）（x22）（k21）x1x2（2k2m）（x1x2）（4k2m2）（k21）（2k2m）（4k2m2）.要使上式为定值，即与k无关，则应使3m212m103（m26），即m，此时m26为定值，定点为E.21、（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为
10、“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，的分布列：从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，故，.22、（1），又在点的切线的斜率为，切点为把切点代入切线方程得：；（2）由（1）知：当时，在上恒成立，在上是单调减函数，当时，令，解得：，当变化时，随变化情况如下表：当时，单调减，当时，单单调增，综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为.(3)当时，要证，即证，令，只需证，由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又，在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为，则，即，由的单调性知：当时，为减函数当时，为增函数，所以当时，又，等号不成立，.
