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1、上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆左焦点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆的标准方程得，所以左焦点的坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题.2.若，则_.【答案】【解析】【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为_（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据
2、，即可求解直线的倾斜角。【详解】由是直线的一个法向量，所以可知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为，可得，所以直线的倾斜角为。故答案为：。【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。4.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则_.【答案】【解析】【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。【详解】双曲线的标准方程为，虚轴的长是 2，实轴长 2，由题意知 2=4，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的，属于基础题.5.圆心为且经
3、过点的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为,则圆的半径为:，所以所求的圆的方程为: ，故答案为: .【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题.6.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点，则_.【答案】4【解析】【分析】由抛物线得焦点，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线得焦点，倾斜角为的直线过焦点的方程为：，与抛物线联立得，令，则，由抛物线的定义得，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的
4、位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k24k，0k，故可知参数k的最大值为.8.在中，则的最大值为_.【答案】【解析】
5、【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得，可求得最值.【详解】在中，由正弦定理得, , ,， ， ， ，所以最大值为，故答案为：.【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题9.已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用椭圆的定义设|AF|x1，3，则|BF|4x，构造函数，利用导数求其范围即可【详解】取椭圆左焦点F，连接AF，BF，AF，BF，易知四边形AFBF为平行四边形，即有|AF|+
6、|BF|AF|+|AF|2a4，设|AF|x1，3，则|BF|4x，故，令，则，易知函数f（x）在1，2）上单调递减，在2，3上单调递增，即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题10.已知点在以为圆心的圆弧上运动，且，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设为直角坐标系的x轴，建立平面直角坐标系.记与夹角为,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到(其中),结合三角函数的图象和性质,可得答案.【详解】设为直角坐标系的x轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记与夹角为
7、,则，代入,有,，故(其中),，而，,当时，取最大值，当,即时,取最小值2，的取值范围为，故答案为: . 【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、 选择题11.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意1i是关于x的实系数方程x2+bx+c01+2i2+bbi+c0，即，解得b2，c3故选
8、：D【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是（ ）A. 15B. 9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z2xy，当直线经过B（6，3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（6，3）处取得最小值zmin12315.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是
9、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得圆心为，半径为圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得实数a取值范围是选C14.已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系得，设，解得，故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且
10、对学生的运算能力要求较高，属于中档题.三、解答题15.设关于的方程的两根的绝对值的和为2，求实数的值.【答案】【解析】【分析】设关于的方程的两根为，根据根与系数的关系得,同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于的方程的两根为，则,同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则,解得,此时方程为,方程无解,所以舍去;若全为负，则,解得,此时方程为方程有两个负根,且绝对值的和为2,综上所述,m的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点在双曲线上.(1)求双曲线的两条渐近线方程；(2)求点到两条渐近线
11、距离的乘积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由双曲线得，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点在双曲线上，求得，再根据点到直线的距离公式可求得点到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线得，所以双曲线的渐近线的方程为：，(2)点在双曲线上，到的距离为，到的距离为，所以点到两条渐近线距离的乘积为.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆（）经过点，直线与椭圆交于、两点，.(1)求椭圆的方程；(2)若，直线经过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1) 根据椭圆（）经过点，代入可求得 得椭圆的方程
12、；(2)显然直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆的方程联立得，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于 的方程，可求得，从而得到直线的方程.【详解】(1) 椭圆（）经过点， ， ，椭圆的方程为： ；(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，显然不满足，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，得，、，则，又，即，解得，所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线（）经过点，直线与抛物线有两个不同的交点、，直线交轴于，直线交轴于.(
13、1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线过点，设，求的值；(3)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值.【答案】(1)且且；(2)；(3).【解析】【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为，且直线、斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据，得出、与点坐标之间的关系，再根据在同一直线上，在同一直线上，得出,与点坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得的值.(3) 设直线的方程为：联立直线与抛物线的方程得出点纵坐标之间的关系，再由，得出、与点坐标之间的关系，对化简可求得的值
14、.【详解】（1）因为抛物线经过点，所以，所以，所以抛物线的解析式为。又因为直线过点，且直线与抛物线有两个不同的交点，易知直线斜率存在且不为，故可设直线的方程式为.根据题意可知直线不能过点，所以直线的斜率.若直线与抛物线的一个交点为，此时该点与点所在的直线斜率不存在，则该直线与轴无交点，与题目条件矛盾，此时，所以直线斜率.联立方程,得，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以，所以。故直线的斜率的取值范围是且且.（2）设点，则，因为，所以，故，由得，设，直线的方程为，令，得，由直线可得，因为，将代入可得，又由根与系数的关系：，所以，所以.（3）设直线的方程为：由，得，设，则，.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及向量的线性关系，关键在于找到所求的式子与直线和抛物线的交点坐标间的关系，运用根与系数的关系化简求出值，属于常考题和难度题.
