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1、求最值,基本不等式（二）,如果a, b是正数, 那么 (当且仅当 ab 时取“=”号),基本不等式,说明：,1，不等式成立条件,a0,b0,2，等号成立条件,(当且仅当 ab 时取“=”号),2,当且仅当a=b时“=”成立,推论1 如果a、b R,那么a2 + b2 2ab (当且 仅当ab时取“=”号),引例1：,有一根长为4a的铁丝，想把它围成一个矩形， 怎样才能使所围矩形面积最大？,实际问题抽象概括为数学问题,引例2,合作探究,结论:和定积最大，积定和最小。,条件：一正，二定，三相等,利用二次函数求某一区间的最值,分析一、,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二、,挖掘隐含条件,3
2、x+1-3x=1为定值，且0 x,则1-3x0；,y=x（1-3x）=,3x（1-3x）,当且仅当 3x=1-3x,可用均值不等式法,精题解析,配凑成和成定值,均值不等式的互化功能,1.“和与积”互化放缩功能,2.“和与积”一定一最功能,注意：在运用均值不等式“和与积” 互化、寻求极值的过程中常需“配凑因 式”和“拆项、添项” ，务必细心；,注意：在运用均值不等式寻求最值 过程中常需检查“一正、二定、三等、 四同时”，尤其是“配定和放缩过程中 所有等号都必须同时取得”的检查.,精题解析：,即 的最小值为,过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结
3、果错。,错因：,解：,解：,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,小结：整体代入法,阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。,错题辨析,特别警示： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“”（或者“”）中取“=” 成立的诸条件是否相容。,注意,配式的目的是： 创设一个应用基本不等式的情境! 创设其等号成立的条件!,运用均值定理求最值，主要是揭示已知 条件与目标不等式的运算结构特征，找 出差异，并将其与基本不等式的运算结 构进行类比，选择相应的基本不等式求 解 .基础是检查条件“一正二定三等四同 时”，关键是“配定”!
4、,!,配式的常用方法是： 拆项、组合、添加系数及常值替换等!,大,0,小,4,4,基础训练,5,条件：一正，二定，三相等,最值练习,最值练习,例3 （1）若x0，y0且，x+y=2求 的最小值,例4（1）求 的最大值,考 思,错解：,，故,的最小值是8错误的原因是，,和,，但在,的条件下，这两个式子不会同时取等号（,）排除错误的办法是看都取等号时，与 题设是否有矛盾,在两次用到重要不等式当等号成立时，有,1、,2、,3、 ，,（当且仅当a=b时，“=”成立）,变形：,4、,即,5、,重要不等式：,解题规律： 1.已知是和(积)，可利用基本不等式实现和化积，积化和； 2. 一正二定三相等在求最值
5、时缺一不可，若给条件不能使 用基本不等式，可考虑利用函数但调性来解决。 3.解题技巧：分离常数法，换元法，乘1变换等。,基本不等式应用应用题,应用题是前几年的高考热点，关键是建立数学模型， 而应用题中最值问题的数学模型，建立目标函数，利用 重要的不等式求最值较常见。,解应用题应注意两个问题：一是建模；二是求解。,问 题 与 思 考,2.某种商品准备两次提价, 有三种方案: 第一次提价 m, 第二次提价 n ; 第一次提价 n, 第二次提价 m ; 两次均提价 . 试问哪种方案提价后的价格高?,设原价为M元, 令a = m, b = n, 则 按三种方案提价后的价格分别为:,A. (1+a)(1
6、+b)M =(1+a+b+ab)M,C. (1+ )2 M =1+a+b+ M,只需比较 ab 与 的大小.,易知,B. (1+b)(1+a)M =(1+a+b+ab)M,所以 , 即C方案提价幅度 最大.,有些问题需比较 ab 与 的大小, 利用不等式性质判断太繁锁, 把它作为定理.,为易记、好用, 把它按如下方式叙述:, a2 + b2 2ab,3.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价40元，两侧墙砌砖，每1m长造价45元，顶部每1m2造价20元计算：(1)仓库底面积的最大允许值是多少？ (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？,分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系,实际问题,抽象概括,引入变量,数学模型,数学模型的解,实际问题的解,还原 说明,解应用题思路,反思研究,
