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1、- 1 - 常见的辅助线的作法常见的辅助线的作法 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高， 利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线 ： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角 形 3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角 的两边作垂线， （2） 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与 角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距 离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线 上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4.垂直平分线联结线段两端： 在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线，出一对全
2、等三角形。 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条 线段的长， 6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边 三角形. 7.角度数为 30 度、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样 可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件。 8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 - 2 -
3、 D C B A E D F C B A 一、一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图，已知ABC 中，A90，ABAC，BE 平分ABC，CEBD 于 E， 求证：CE= BD. 中考连接：中考连接： （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上， OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（） A3 B4C5D6 二、倍长中线（线段）造全等二、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_. 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC
4、 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. EDC B A - 3 - O E D CB A ABC 中考连接：中考连接： （09 崇文）以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt， ACE 连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究 ： AM 与 DE 90 ,BADCAE 的关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系 ABC 是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ； （2） 将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，
5、 如图 ABD 所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 三、借助角平分线造全等三、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求 证：OE=OD - 4 - 2、 如图， 已知点C是MAN的平分线上一点， CEAB于E， B、 D分别在AM、 AN 上，且 AE= （AD+AB）.问：1 和2 有何关系？ 中考连接：中考连接： (2012 年北京)如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题： （1） 如图， 在ABC中，
6、 ACB是直角， B=60， AD、 CE分别是BAC、 BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间 的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变， 请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明 ； 若不成立， 请说明理由。 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图图 - 5 - E D G F C B A 四, 垂直平分线联结线段两端 1. （ 2014广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰ABC 中，AB=AC， DBC=15，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D
7、， 则A 的度数是 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的长.ab 中考连接：中考连接： （2014 年广东汕尾， 第 19 题 7 分） 如图， 在 RtABC 中， B=90， 分别以点 A、 C 为圆心， 大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、E， 连接 AE （1）求ADE；（直接写出结果） （2）当 AB=3，AC=5 时，求ABE 的周长 补充：尺规作图 过直线外一点做已知直线的垂线 -
8、6 - E D C B A D C B A P Q C B A 五、截长补短五、截长补短 1、如图，中，AB=2AC，AD 平分，且 AD=BD，求证：CDACABCBAC 2、如图， ADBC， EA,EB 分别平分DAB,CBA， CD 过点 E，求证;ABAD+BC。 3、如图，已知在ABC 内，P，Q 分别在 BC，CA 上， 0 60BAC 0 40C 并且 AP，BQ 分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPBACABC 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，ABC 求证： 0 180CA 5. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，
9、AF平 分DAE求证 ： AEBEDF C D B A - 7 - 6.如图，ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC，ACB，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明. 7.如图，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E， 交 CB 于 F，且 EGAB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。 六、综合六、综合 - 8 - F E D CB A N M E F A C B A 1、正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数. 2、 如图，为等边三角形
10、， 点分别在上， 且，ABC,M N,BC ACBMCNAM 与交于点。求的度数。BNQAQN 3、已知四边形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长60MBN MBNBADDC， 线）于EF， 当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结MBNBAECF 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的AECF，EF 数量关系？请写出你的猜想，不需证明 4、D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交Rt ABC BC,CA 于点 E,F。 （
11、图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N - 9 - （1） 当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN （2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。 5、在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABCABC 外一点， 且,BD=DC. 探究 ： 当 M、 N 分别在直线 AB、 60MDN 120BDC AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边AMNABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且
12、 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； L Q （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的 两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN=，则 Q= （用、L 表示） xx 中考连接：中考连接：（2014抚顺 第 25 题（12 分） ） - 10 - 已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90，ABC= ABC=60，RtABC可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线 CC和 AA相交 于点 D （1）如图 1 所示，当点 C在 AB 边上时，
13、判断线段 AD 和线段 AD 之间的 数量关系，并证明你的结论； （2）将 RtABC由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3） 将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转 角 （0120） ， 当 A、 C 、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数 参考答案与提示参考答案与提示 - 11 - D C B A E D F C B A 一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_. 解：延长 AD
14、至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的 大小. 解：(倍长中线,倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG, 显然 BGFC， 在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EGEF 在BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. EDC B A
15、 解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG, 显然 DGAC， GDC=ACD 由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB 与ADG 中， BDAC=DG，ADAD， - 12 - ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG 故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE 应用：应用： 1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和 等 腰 Rt ABD ，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究 ： AM与DE的 ACE 90 ,BADCAE 位置关系及数量关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， ABC 线段AM与DE的数量关系是 ； （2） 将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后， 如图所示，（1） ABD 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 解：（1），；AMED2EDAM 证明：延长 AM 到 G，使，连 BG，则 ABGC 是平行四边形AMMG ，BGAC 180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE ，AMDE2EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长 CA 至 F，使，FA 交 DE 于点 P，并连接 B
