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1、- 1 - 初二数学知识点 因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法 是相反的两个转化. 2因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”. 3公因式的确定：系数的最大公约数相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4因式分解的公式： (1)平方差公式： a2-b2=（a+ b） （a- b） ； (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
2、 5因式分解的注意事项： （1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字； （2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性； （3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止； （4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正； （5）因式分解的最后结果要求加以整理； （6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6因式分解的解题技巧 ： （1）换位整理，加括号或去括号整理 ； （2）提负号 ； （3）全变号 ； （4）换元 ； （5） 配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括
3、 号；（10）拆项或补项. 7完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q， 有“ x2+px+q 是完全平 方式 ”.q 2 p 2 分式 1分式：一般地，用A、B 表示两个整式，AB 就可以表示为的形式，如果B 中含有字母，式子 叫 B A B A - 2 - 做分式. 2有理式：整式与分式统称有理式；即 . 分式 整式 有理式 3对于分式的两个重要判断 ： （1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义 ； （2）若分式的分子为 零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4分式的基本性质与应用： （1）若
4、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变； （2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 即 分母 分子 分母 分子 分母 分子 分母 分子 （3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因 式分解. 6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求 化为最简分式. 7分式的乘除法法则： ., bd ac d c b a bc ad c d b a d c b a 8分
5、式的乘方：.为正整数）（n. b a b a n n n 9负整指数计算法则： （1）公式： a0=1(a0), a-n= (a0)； n a 1 （2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算； （3）公式：，； nn a b b a n m m n a b b a （4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1. 10分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式， 叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母. - 3 - 11最简公分母的确定：系数的最小公倍数相同因式的最高次幂. 12同分母与异分母的分式加减法法则： .; c ba
6、 c b c a bd bcad bd bc bd ad d c b a 13 含有字母系数的一元一次方程 ： 在方程ax+b=0(a0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母表示的已知数， 对x 来说，字母a 是x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程. 注意：在字母方程中,一般用a、b、c 等表示已知数，用x、y、z 等表示未知数. 14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含 有字母系数的方程.特别要注意：特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式 的值不为0. 15分
7、式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整 式方程. 16分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能 产生增根，故分式方程必须验增根 ； 注意 ： 在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式， 因为可能丢根. 17分式方程验增根的方法 ： 把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母） ，若值为零，求 出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值 为零的未知数的值可能是原方程的增根. 18分式方程的应用 ： 列分式方程解应用题与列整
8、式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序. 数的开方 1平方根的定义：若x2=a,那么x 叫a 的平方根， （即a 的平方根是x） ；注意：（1）a 叫x 的平方数， （2） 已知x 求a 叫乘方，已知a 求x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2平方根的性质： （1）正数的平方根是一对相反数； （2）0 的平方根还是0； （3）负数没有平方根. 3平方根的表示方法：a 的平方根表示为和.注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数aaa - 4 - 开二次方的运算. 4算术平方根：正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根，表示为.注意：0 的算术平方根还是0.a 5三个重要非负数： a
9、20 ,|a|0 ，0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.a 6两个重要公式： （1） ; (a0)aa 2 （2） . )0a (a )0a (a aa2 7立方根的定义 ： 若x3=a,那么x 叫a 的立方根， （即a 的立方根是x）.注意 ： （1）a 叫x 的立方数 ； （2）a 的立方根表示为；即把a 开三次方. 3 a 8立方根的性质： （1）正数的立方根是一个正数； （2）0 的立方根还是0； （3）负数的立方根是一个负数. 9立方根的特性：. 33 aa 10无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数. 11实数：有理数和无理数统称实数. 12实数的
10、分类：（1）（2） 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数与无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 负实数 正实数 实数 0 . 13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应. 14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果 题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意 ： （1）近似计算时，中间过程要多保留一位 ； （2）要求记忆： .414 . 1 2 732 . 1 3 236 . 2 5 - 5 - 三角形 几何A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1三角形的角平分线定义： 三角形的一个角
11、的平分线与这个角的对边相 交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角 形的角平分线.（如图） A BCD 几何表达式举例： (1) AD 平分BAC BAD=CAD (2) BAD=CAD AD 是角平分线 2三角形的中线定义： 在三角形中， 连结一个顶点和它的对边的中点 的线段叫做三角形的中线.（如图） A B CD 几何表达式举例： (1) AD 是三角形的中线 BD = CD (2) BD = CD AD 是三角形的中线 3三角形的高线定义： 从三角形的一个顶点向它的对边画垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线. （如图） A BCD 几何表达式举例： (1) AD 是ABC 的高
12、ADB=90 (2) ADB=90 AD 是ABC 的高 4三角形的三边关系定理： 三角形的两边之和大于第三边， 三角形的两边 之差小于第三边.（如图） A BC 几何表达式举例： (1) AB+BCAC (2) AB-BCAC - 6 - 5等腰三角形的定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图） A BC 几何表达式举例： (1) ABC 是等腰三角形 AB = AC (2) AB = AC ABC 是等腰三角形 6等边三角形的定义： 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图） A B C 几何表达式举例： (1)ABC 是等边三角形 AB=BC=AC (2) AB=BC=A
13、C ABC 是等边三角形 7三角形的内角和定理及推论： （1）三角形的内角和180；（如图） （2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） （3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图） （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. （1） （2） （3） （4） 几何表达式举例： (1) A+B+C=180 (2) C=90 A+B=90 (3) ACD=A+B (4) ACD A 8直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形. （如图） A BC 几何表达式举例： (1) C=90 ABC 是直角三角形 (2) ABC 是直角三角形 C=90 D A BC A
14、 BC A BC - 7 - 9等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等 腰直角三角形.（如图） A B C 几何表达式举例： (1) C=90 CA=CB ABC 是等腰直角三角形 (2) ABC 是等腰直角三角形 C=90 CA=CB 10全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图） 几何表达式举例： (1) ABCEFG AB = EF (2) ABCEFG A=E 11全等三角形的判定： “SAS” “ASA” “AAS” “SSS” “HL”. （如图） （1） （2） （3） 几何表达式举例： (1) AB = E
15、F B=F 又 BC = FG ABCEFG (2) (3)在RtABC 和RtEFG 中 AB=EF 又 AC = EG RtABCRtEFG A BCG E F A BCG E F A B C E F G - 8 - 12角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相 等；（如图） （2）到角的两边距离相等的点在角平分线 上.（如图） A O B C D E 几何表达式举例： (1)OC 平分AOB 又CDOA CEOB CD = CE (2) CDOA CEOB 又CD = CE OC 是角平分线 13线段垂直平分线的定义： 垂直于一条线段且平分这条线段的直线， 叫
16、做这条线段的垂直平分线.（如图） A B E F O 几何表达式举例： (1) EF 垂直平分AB EFAB OA=OB (2) EFAB OA=OB EF 是AB 的垂直平分线 14线段垂直平分线的性质定理及逆定理： （1）线段垂直平分线上的点和这条线段的 两个端点的距离相等；（如图） （2）和一条线段的两个端点的距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上.（如图） AB C M N P 几何表达式举例： (1) MN 是线段AB 的垂直平分线 PA = PB (2) PA = PB 点P在线段AB 的垂直平分线上 - 9 - 15等腰三角形的性质定理及推论： （1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角） （如图） （2） 等腰
