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1、1 相似三角形难题精选相似三角形难题精选 模块一：相似三角形中的动点问题模块一：相似三角形中的动点问题 如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，过点 B 作射线 BB1AC动 点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动， 同时动点 E 从点 C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动 过点D作DHAB于H， 过点E作EF AC 交射线 BB1 于 F，G 是 EF 中点，连接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，AD=AB，并求出此时 DE 的长 度； （2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值 如图，在ABC 中，AB
2、C90，AB=6m，BC=8m，动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点 出发， 沿 AC 向点 C 移动 同时， 动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点出发， 沿 CB 向点 B 移动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时间为 t 秒 （1）当 t=2.5s 时，求CPQ 的面积； 求CPQ 的面积 S（平方米）关于时间 t（秒）的函数解析式； （2）在 P，Q 移动的过程中，当CPQ 为等腰三角形时， 求出 t 的值 2 如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8，点 D 在边 AB 上运动，DE 平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD，垂足为 M，ENCD
3、，垂足为 N （1）当 ADCD 时，求证：DEAC； （2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？ 如图所示，在ABC 中，BABC20cm，AC30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速 度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动设运动的时间为 x （1）当 x 为何值时，PQBC？ （2）APQ 与CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由. 3 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=12cm， BC=6cm， 点 P 沿 AB 边从 A 开始
4、向点 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0t6） 。 （1）当 t 为何值时，QAP 为等腰直角三角形？ （2）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？ 模块二：构造辅助线双垂直模型模块二：构造辅助线双垂直模型 在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 的坐标为(2， 1)， 正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求这个正比例函数的表达式 4 在ABC 中，AB=2，AC=4，BC=2，以 AB 为边在 C 点的异侧作ABD，使AB
5、D5 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长 在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点， 沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证：MC：NC=AP：PB 5 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴 于点 E那么 D 点的坐标为（ ） 已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象 限做一个矩形 ABCD，使得矩形的两边之比为 1
6、2。 求 C、D 两点的坐标。 模块三：构造辅助线模块三：构造辅助线A 型与型与 X 型型 6 如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。 求证： = AB AC CF DF 四边形ABCD中， AC为AB、 AD的比例中项， 且AC平分DAB. 求证 ：BE DE = BC CD 在梯形 ABCD 中，ABCD，ABb，CDa，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB， 7 且 EF 交 BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当=1 时，EF=； DE AE a + b 2 (2)当=2 时，EF=； DE AE a
7、+ 2b 3 (3)当=3 时，EF=. DE AE a + 3b 4 当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并 DE AE 给出证明 已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上两点，且 BEEFFC. 求 BN：NQ：QM 8 证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的. 2 3 （注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的 两邻边对应成比例. 模块四：相似中的定值问题模块四：相似中的定值问题 如图， 在等边ABC中， M、 N分别是边A
8、B， AC的中点， D为MN上任意一点， BD、 CD 的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证. 1 CE + 1 BF = 3 AB 9 已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF/AB 分 别交 AD、BC 于 E、F。求证：. 1 AB + 1 CD = 1 EO 如图， 在ABC 中， 已知 CD 为边 AB 上的高， 正方形 EFGH 的四个顶点分别在ABC 上。 求证: 1 AB + 1 CD = 1 EF 10 已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证 ：. 1 AC + 1 BC = 1 a 模块五：相
9、似中的共线线段成比例问题模块五：相似中的共线线段成比例问题 (1) 如图 1，点 P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA， BC 的延长线于点 Q，S，交 AD，CD 于 R，T. 求证：PQPR=PSPT. (2)如图 2，图 3，当点 P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 或 DB 的延长线上时， PQPR=PSPT 是否仍然成立？若成立， 试给出证明 ； 若不成立， 试说明理由 （要 求仅以图 2 为例进行证明或说明） ； 11 已知：如图，ABC 中，ABAC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB， 延长 BP 交 AC
10、于 E，交 CF 于 F求证：BPPEPF 如图，已知ABC 中，AD，BF 分别为 BC，AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证： DE=EGEH. 12 已知如图， P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点， 过 P 的直线与 AD、 BC、 CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G、H. 求证：PE PF = PH PG 已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ； 在 AD 上有一点 P，且BPC 为直角求证：PDADDH 13 模块六：相似中的积式问题综合
11、模块六：相似中的积式问题综合 已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于 F。 求证：ACCF=BCDF. 如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DHBM 且与 AC 的延长线交于点 E. 求证：（1）AEDCBM；（2）AECM=ACCD 14 如图，ABC 是直角三角形，ACB=90，CDAB 于 D E 是 AC 的中点，ED 的 延长线与 CB 的延长线交于点 F. （1）求证：FD=FBFC （2）若 G 是 BC 的中点，连接 GD，GD 与 EF 垂直吗？并说明理由 如图，四边形 AB
12、CD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证：ANDN=CNMN 15 如图， BD、 CE 分别是ABC 的两边上的高， 过 D 作 DGBC 于 G， 分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、H。 求证： （1）DGBGCG； （2）BGCGGFGH 模块七：相似基本模型运用模块七：相似基本模型运用 ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形， A=D=90， DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上 （1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证 ： BEMCNE ； （2）如图 2，将DEF
13、 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明你的结论 16 如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分 别交 AC、CD 于点 P、Q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求 BP：PQ：QR 如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证 ：AE AF = AC AB 17 模块八：相似里的垂直模型模块八：相似里的垂直模型 在ABC 中, A=900,ADBC,DEAB.
14、求证: E D C B A 已知:Rt ABC 中, ACB=900,CDAB 于 D,DEAC 于 E,DFBC 于 F. 求证:CD3=ABAEBF F E D C B A AE BE AC AB 2 2 18 正方形 ABCD 中,AE= AD,AO=BO,OF CE 于 F. 求证:OF2=CFEF F E D O C B A 已知: ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DEAC 于 E,H 是 DE 中点,连结 AH,BE. 求证:AHBE H E D C B A 4 1 19 ABC 中,AB=AC,BDAC 于 D. 求证:BC2=2CDAC D C B A ABC 中
15、,ACB=900,CDAB 于 D,E 是 BC 的中点,DE 和 AC 的延长线交于 F. 求证: 1)FD2=FCFA; 2） F E D C BA FD FA BC AC 20 已知,RtABC 中,ABC=900,D 是 BC 上一点,BEAC 于 E,BFAD 于 F. 求证:AEFADC E F B C A D 已知:RtABC 中,ACB=900,AD 平分CAB 交 BC 于 D,CEAB 于 E,DFAB 于 F 点. 求证:AF2=ABAE F E C A B D 21 已知: ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DEAC 于 E,H 是 DE 中点,连结 AH,
16、BE. 求证:AHBE H E D C B A 模块九：相似综合（一）模块九：相似综合（一） 在ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 边上的点,连结 DE 并延长交 AC 的延长线于 F.若 BD:DE=AB:AC. 求证:EFC 是等腰三角形 E D C F B A 22 一直线分别交ABC 的 BC 延长线于 D,交 AC,AB 于 E,F,且AEF= AFE. 求证:BD:CD=BF:CE E D C F B A （需要写出多种解法） 梅涅劳斯定理 ： 直线分别交ABC 的 BC 延长线于 D,交 AC、 AB 于 E、F, 求证: E D C F B A 1 FB AF EA CE DC BD 23 已知:E 是梯形 ABCD 对角线的交点,AD/BC,BF/CD 交 CA 的延长线于 F. 求证:EFAD=ECBC F E D C B A 24 设 G 为ABC 的重心，过 G 作直线与 AB、BC 分别交于点 E 和 F.求证： 模块十：相似综合（二）模块十：相似综合（二） 在ABC 中
