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1、精品 料推荐随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机 量有关的某些数 ， 然不能完整的描述随机 量，但能描述随机 量在某些方面的重要特征。 些数学特征在理 与 践上都具有重要的意 ， 本文介 一 随机 量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1 离散型随机 量X 的分布律 ：p X xkpk ，xk 1， 2，如果 数xkpk 收 ， 称 数xk pk 的和 随机 量 X 的数学期望，即k 1k1E( x)xk pkk 12 型随机 量 X 的概率密度 f (x) ，若 分xf ( x) dx 收 ， 称 分xf ( x)dx 的 随机 量X 的数学期望，即E( x)xf (
2、x) dx3 数学期望的性 （ 1） E(C )C ，（ C 常数）（ 2） E(kX )kE ( X ) ，（ k 常数， X 是随机 量）（ 3） E( XY) E( X )E(Y) ，（ X ， Y 是两个随机 量）（ 4）若 X ， Y 是相互独立的随机 量， 有E( XY ) E(X ) E(Y)二、随机 量的函数的数学期望设 Y 是 X 的函数， Y g( X ) 。1当 X 是离散型随机 量 ，X 的分布律 p X xkpk ， k1， 2，若 数g(xk ) pk 收 ， 函数 Y 的数学期望 k1E(Y ) E g( X )g( xk ) pkk 12当 X 是 型随机 量
3、，X 的概率密度 f (x) ，若 分g( x) f ( x) dx 收 ， 函数 Y 的数学期望 E(Y )E g( X )g (x) f ( x)dx三、方差设 X 是一个随机 量，若E X E( X ) 2存在， 称它 X 的方差， 作D ( X ) ，1精品 料推荐即D ( X ) E X E( X ) 2 称D( X ) 为 X 的均方差或者 准差。1 若 X 是离散型随机 量， D ( X ) xk E( X ) 2 pkk 12 若 X 是 型随机 量， D ( X ) x E( X ) 2 f ( x)dx方差 D ( X )反映了随机 量 X 取 分散的程度，D ( X )
4、越小， X 的取 越集中。3 方差的性 （ 1） D ( X ) 0 ；（ 2） D (C )0，（其中 C 是常数）；（ 3） D (kX )k2 D ( X ) ，其中 k 是常数，（ 4）若 X ， Y 是两个相互独立的随机 量， 有D ( XY ) D ( X ) D (Y )（ 5）D ( X ) 0的充分必要条件是， 里C E( X )；p X C 1（ 6） D ( X )E( X 2 ) E ( X ) 2常用公式（ 6） 算方差。四、矩1 X 离散型随机 量（ 1）若 E( X k )xik pi ，k1，2，存在， 称它 X 的 k 原点矩。i 1（ 2）若 E XE( X
5、 ) k xiE( X )k pi 存在， 称它 X 的 k 中心矩。i 12 X 型随机 量（ 1） E( X k )x k f (x)dx 存在， 称它 X 的 k 原点矩。（ 2）若 E XE( X ) k x E( X ) kf ( x)dx 存在， 称它 X 的 k 中心矩，其中， f (x) 为 X 的概率密度。五、关于两个随机 量的函数Zg( X , Y) 的数学期望1 ( X ,Y) 是二 离散型随机 量， 若其分布律 p X xi,Y yi pij ，（ i, j1，2，），则 E( Z) E g( X ,Y)g( xi , y j ) pijj 1 i1 里，等式右端的 数
6、 收 。2 ( X , Y) 是二 型随机 量，若其概率密度 f ( x, y)E( Z) E g( X ,Y)g(x, y) f ( x, y)dxdy则 里，等式右端的 数或 分 收 。六、 方差和相关系数1 ( X ,Y) 是二 随机 量， 若 E X E( X ) YE(Y)存在， 称它是 X 和 Y 的2精品 料推荐协方差，记作Cov ( X ,Y) ，即Cov( X , Y)E XE( X ) YE(Y)（ 1）当 (X , Y) 为离散型随机变量时，Cov( X , Y) xi E( X ) y j E(Y) pijj 1i 1（ 2）当 (X , Y) 是连续随机变量时，Cov
7、( X , Y) x E( X ) y E(Y ) f ( x, y)dxdy其中， f ( x, y) 是 ( X ,Y) 的概率密度。2若 D ( X ) 0， D (Y ) 0，则称xyCov( X , Y)D( X )D (Y)为 X 和 Y 的相关系数。七、例题分析X-202例 1设随机变量X 的分布律为，求 ： E( X ) ， E( X2 ) ，pk0.40.30.3D ( X ) 。解：E( X ) ( 2) 0.4 0 0.3 2E( X 2 ) ( 2) 20.4 020.3 220.3 2.8D ( X ) E( X 2 ) E( X ) 22.8 ( 0.2) 22.7
8、6例 2设随机变量X 1 , X 2 的概率密度分别为2e 2 x , x 04e 4x , x 0f X1(x)，f X2(x)0,x00,x 0求： E( X 1X 2 ) ， D ( X 1 ) ， D ( X 2 ) 。解： E( X1 X 2 )E( X 1 )E( X 2 )0x2e 2x dxx 4e 4 x dx0113244D ( X 1 ) E( X12 ) E( X 1 ) 2x 22e 2 x dxx 2e 2 x dx21004D ( X 2 )E( X 22 ) E( X 2 ) 23精品 料推荐x 24e 4x dx210x4e 4x dx016( X ,Y ) 具有概率密度 f (x, y)1,x 2y 21例 3设二维随机变量,0 ,其它求： Cov ( X , Y) ，xy 。解： u1E( X )xf ( x, y)dxdy121rdrd00r cos0u2E(Y)yf (x, y)dxdy1r sinrdrd0Cov( X ,Y )( xu1 )( yu2 ) f ( x, y)dxdy1212 sin cosrdrd00r0xyCov( X , Y)0D(Y)D( X )例 4设二维随机变量( X ,Y ) 的分布律为X-101pYy j Y
