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1、沪科版八年级数学下知识点总结沪科版八年级数学下知识点总结 二次根式知识点：二次根式知识点： 知识点一： 二次根式的概念知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但 必须注意 ： 因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如， 等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件 ： 由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次 根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以
2、当 a0 时，没有意义。 知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性 （） 表示 a 的算术平方根， 也就是说，（） 是一个非负数， 即0（） 。 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的 算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性 质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时 应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。 知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（） 的性质的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负
3、数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式 也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、 化简时， 一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数， 若是正数或 0， 则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即； 2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点 1、 不同点 ：与表示的意义是不同的，表示一个
4、正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根 ； 在中， 而中 a 可以是正实数， 0， 负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别 的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而 . 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式知识点七：二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、 x+y 等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、 9、 a2、 （x+y） 2、 x2+2xy+y2 等 （3）最终结果分母不含根号。 知识点八：二次根式的乘法和除法知识点八：二次根式的乘法和除
5、法 1.积的算数平方根的性质 ab=ab（a0，b0） 2. 乘法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于 这两个因式积的算术平方根。 3.除法法则 ab=ab（a0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这 两个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化 根式,也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法知识点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就 把这几个
6、二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的 进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算知识点十：二次根式的混合运算 1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化知识点十一：分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 如:a/b=ab/bb=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/a
7、b 如图 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。 一元二次方程知识点：一元二次方程知识点： 1. 1. 一元二次方程的一般形式: a0 时，ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一 元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的 a、 b、 c； 其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽 然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误； 因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法
8、使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的 判别式.请注意以下等价命题： 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根； 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当 ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： . a c xx a b xx)2( a2 ac4bb x) 1 ( 2121 2 2 , 1 ，； 5. 一元二次方程的解法5. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法直接开平方法 （也可以使用因式分解法） 解为： 2 (0)xa axa 解为： 2 ()(0)x
9、ab bxab 解为： 2 ()(0)axbc caxbc 解为： 22 ()() ()axbcxdac()axbcxd （2）因式分解法因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如 ： 此类方程适合用提供因此， 而且其中一个根为 0 2 0( ,0)()0axbxa bx axb 2 90(3)(3)0 xxx 2 30(3)0 xxx x 3 (21)5(21)0(35)(21)0 xxxxx 22 694(3)4xxx 22 41290(23)0 xxx 2 4120(6)(2)0 xxxx 2 25120(23)(4)0 xxxx （3）配方法（3）配方法 二次项的系数为“
10、1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下 所示： 222 0()()0 22 PP xPxqxq 示例： 222 33 310()( )10 22 xxx 二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 2222 0 (0)()0 ()()0 22 bbb axbxcaa xxca xac aaa 22 22 2 4 ()() 2424 bbbbac a xcx aaaa 示例： 2222 1111 210(4 ) 10(2)210 2222 xxxxx （4）公式法：公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2 0 (0)axbxca 2 2 2 4 ()
11、 24 bbac x aa 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 2 40bac 2 1,2 4 2 bbac x a 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 2 40bac 1,2 2 b x a 当时，右端是负数因此，方程没有实根。 2 40bac 备注：公式法解方程的步骤：备注：公式法解方程的步骤： 把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出 、 、 2 0 (0)axbxcaab c 求出，并判断方程解的情况。 2 4bac 代公式：（要注意符号） 2 1,2 4 2 bbac x a 5当 ax 5当 ax2 2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：+
12、bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题： (以下等价关系要求会用公式 ；=b(以下等价关系要求会用公式 ；=b2 2-4ac 分析，不要求背记)-4ac 分析，不要求背记) a c xx a b xx 2121 ， （1）两根互为相反数 = 0 且0 b = 0 且0；（1）两根互为相反数 = 0 且0 b = 0 且0； a b （2）两根互为倒数 =1 且0 a = c 且0；（2）两根互为倒数 =1 且0 a = c 且0； a c （3）只有一个零根 = 0 且0 c = 0 且 b0；（3）只有一个零根 = 0 且0 c = 0 且 b0； a c a b （4）有两个零根 =
13、0 且= 0 c = 0 且 b=0；（4）有两个零根 = 0 且= 0 c = 0 且 b=0； a c a b （5）至少有一个零根 =0 c=0；（5）至少有一个零根 =0 c=0； a c （6）两根异号 0 a、c 异号；（6）两根异号 0 a、c 异号； a c （7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 0 且0 a、c 异号且 a、b 异号 ；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 0 且0 a、c 异号且 a、b 异号 ； a c a b （8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 0 且0 a、c 异号且 a、b 同号 ；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 0 且0 a
14、、c 异号且 a、b 同号 ； a c a b （9）有两个正根 0，0 且0 a、c 同号， a、b 异号且0；（9）有两个正根 0，0 且0 a、c 同号， a、b 异号且0； a c a b （10）有两个负根 0，0 且0 a、c 同号， a、b 同号且0.（10）有两个负根 0，0 且0 a、c 同号， a、b 同号且0. a c a b 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能 分解. 6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能 分解. axax2 2+bx+c=a(x-x+bx+c=a(x-x1 1)(x-x)
15、(x-x2 2) 或 ax) 或 ax2 2+bx+c=.+bx+c=. a2 ac4bb x a2 ac4bb xa 22 7求一元二次方程的公式： 7求一元二次方程的公式： x x2 2 -（x -（x1 1+x+x2 2）x + x）x + x1 1x x2 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为 x）：8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为 x）： (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x) (1) 第一年为 a , 第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x)2 2. . （2） 常利用以下相等关系列方程 ： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年= 总和. （2） 常利用以下相等关系列方程 ： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年= 总和. 9分式方程的解法：9分式方程的解法： .0) 1 (），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母 公分母 两边同乘最简 去分母法 .0 . 2分母，值验增根代入原方程每个 换元 凑元，设元， 换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法：10. 二元二次方程组的解法： . 0)3( 0)2( 0)4( 0)1( 0)
