长安大学《测量学》第六章测量误差的基本理论

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1、第六章 测量误差的基本理论,长安大学公路学院,6-1 概述,一、测量误差的概念 人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这 种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测 量误差。 二、观测与观测值的分类 1同精度观测和不同精度观测 在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用 相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水 平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度 观测值或等精度观测值。反之，则称为不同精度观测，其观 测值称为不同（不等）精度观测值。,6-1 概述,二、观测与观测值的分类 2直接观测和间接观测 为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测

2、量就是所求未 知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。通过被 观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观 测，观测值称为间接观测值。 3独立观测和非独立观测 各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独 立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定 的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为 非独立观测值。,6-1 概述,三、测量误差及其来源 1测量误差的定义 真值：客观存在的值“X”（通常不知道） 真误差：真值与观测值之差，即：真误差=真值-观测值 2测量误差的反映 测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。 3测量误差的来源 （1）测量仪器：

3、仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。,6-1 概述,四、测量误差的种类 按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为 系统误差和偶然误差两类。 1系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大 小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)

4、 ,6-1 概述,四、测量误差的种类 2偶然误差 在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差 。,6-1 概述,四、测量误差的种类 几个概念: 准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小） 精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小） 最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）； 测量平差：（求解最或是值并评定精度）。,6-1 概述,五、偶然误差的特性及其概率密度函数 例如，在相同条件下对某一个平面三

5、角形的三个内角重复观 测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个 内角观测值之和一般不等于180，按下式算得三角形各次 观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。,6-1 概述,6-1 概述,五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差的四个特性： （1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的； （2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大； （3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； （4）补偿性：在相同

6、条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即,6-1 概述,五、偶然误差的特性及其概率密度函数 用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。 各条形顶边中点连线经光滑后 的曲线形状，表现出偶然误差 的普遍规律。,6-1 概述,五、偶然误差的特性及其概率密度函数 用频率直方图表示的偶然误差统计： 当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为“正态分布曲线”，又

7、称为“高斯误差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分布的特性。,6-1 概述,五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差处理方式,6-2 衡量精度的指标,一、精度 精确度是准确度与精密度的总称。 对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。 二、中误差 某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未 知量进行了n次观测，其观测值分别为 、 ，n个观测值 的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和明显地反 映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和 的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即,6-2 衡量精度的

8、指标,二、中误差 某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未 知量进行了n次观测，其观测值分别为 、 ，n个观测值 的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和明显地反 映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和 的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即 m称为中误差，m小精度高；m大精度低。n观测值个数 真误差,6-2 衡量精度的指标,二、中误差 例:设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9次观 测，分别求得其真误差为： 甲组： 乙组： 试比较这两组观测值的中误差。 解： 说明乙组的观测精度比甲组高。,6-2 衡量精度的指标,三、容许误差 根据误差分布的密

9、度函数，误差出现在微分区间d内的概率为： 误差出现在K倍中误差区间内的概率为： 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 ； P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 ,6-2 衡量精度的指标,三、容许误差 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在 一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=68.3 ； P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差： |容|=

10、3|m| 或 |容|=2|m,6-2 衡量精度的指标,四、相对误差(相对中误差) 中误差绝对值与观测量之比。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。 解： K2K1，所以距离S2精度较高。,6-3 算术平均值及其中误差,一、算术平均值 设在相同的观测条件下，对某未知量进行了n 次观 测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值 为x：,6-3 算术平均值及其中误差,一、算术平均值 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则

11、各观测值的真误差为： 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真 值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,6-3 算术平均值及其中误差,二、观测值改正数 未知量的最或是值x与观测值li之差称为观测值改正 数vi，即,6-3 算术平均值及其中误差,三、由观测值改正数计算观测值中误差,6-3 算术平均值及其中误差,三、由观测值改正数计算观测值中误差,6-3 算术平均值及其中误差,四、算术平均值中误差 算术平均值的中误差Mx，可由下式计算:,6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 定义：表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定

12、律。 ? 如何由观测值精度评定观测值函数精度,6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差,为独立观测值,设 有真误差 ，函数 也产生真误差,对(a)全微分：,由于 和 是一个很小的量，可代替上式中的 和 ：,(b),(c),6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差,令 的系数为 ， (c)式为：,6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差,(e),(f),对K个(e)式取总和：,(g),6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差,由偶然误差的抵偿性知：,(g),(h),6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差,(h),(

13、6-10),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。,6-4 误差传播定律,一、误差传播定律 一般函数的中误差 中误差传播公式,6-4 误差传播定律,二、误差传播定律的应用 例1：在1：500地形图上量得某两点间的距离，其中误差， 求该两点间的地面水平距离D的值及其中误差。 解:,6-4 误差传播定律,二、误差传播定律的应用 例2：设对某一个三角形观测了其中，两个角，测角中误差分别为， ，试求角的中误差。 解：,6-4 误

14、差传播定律,二、误差传播定律的应用 例3：试推导出算术平均值中误差的公式： 解：,6-5 权及加权平均值,一、权 定义：在计算不同精度观测值的最或然值时，精 度高的观测值在其中占的“比重”大一些，而精度低 的观测值在其中占的“比重”小一些。这里，这个“比 重”就反映了观测的精度。“比重”可以用数值表示， 在测量工作中，称这个数值为观测值的“权”。 定义公式：设以Pi表示观测值li的权，则权的定 义公式为：,6-5 权及加权平均值,一、权 是权等于1的观测值的中误差，通常称等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。 为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。 权与中误差的平方成反比，即

15、精度愈高，权愈大 。,6-5 权及加权平均值,二、权的性质 （1）权是相对性数值，表示观测值的相对精度。 （2）权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值越可靠，精度越高。 （3）权始终取正号。 （4）对于单一观测值而言，权无意义。 （5）权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不变。 （6）在同一个问题中只能选定一个li值，不能同时选用几个不同的值，否则就破坏了权之间的比例关系。,6-5 权及加权平均值,三、测量中常用的确权方法 1同精度观测值的算术平均值的权 设一次观测的中误差为m，n次同精度观测值的算术平均值的中误差 。则一次观测值的权为：,算术平均值的权为：,6-5 权及加

16、权平均值,三、测量中常用的确权方法 1同精度观测值的算术平均值的权 对于中误差为mi的观测值（或观测值的函数），其权Pi为: 则相应的中误差的另一表示式可写为:,6-5 权及加权平均值,三、测量中常用的确权方法 2权在水准测量中的应用 设每一测站观测高差的精度相同，其中误差为m站， 则不同测站数的水准路线观测高差的中误差为： 取c个测站的高差中误差为单位权中误差，即 则各水准路线的权为,6-5 权及加权平均值,三、测量中常用的确权方法 3权在距离丈量工作中的应用 设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为 s公里的丈量中误差为 。 取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即， 则得距离丈量的权为：,6-5 权及加权平均值,四、加权平均值及中误差 1加权平均值 设对某未知量进行了n次不同精度观测