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1、直线回归分析,主要内容,直线回归方程的建立 直线回归的统计推断 直线回归的应用 直线回归需注意的问题 直线回归与直线相关的联系与区别,医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系，例如：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量，身高与臂长 两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量； 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量。,直线回归概念,直线回归（linear regression）用来研究两个连续型变量之间数量上的线性依存关系。 因变量(dependent variable) 常用y表示 自变量(independent variable) 常用x表示,例14.1,
2、某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系，对20名男性志愿受试者测量其腰围(cm)，并采用磁共振成像法测量其腹腔内脂肪面积(cm2)，结果如表14.1所示。试建立腹腔内脂肪面积和腰围的直线回归方程。,为了直观了解腹腔内脂肪面积与腰围的关系，以这20名男性志愿者的腰围为横坐标，腹腔内脂肪面积为纵坐标绘制散点图,图14.1 两变量直线回归关系散点图,腹腔内脂肪面积 (cm2),腰围 (cm),函数关系与回归关系,函数关系：自变量取某一数值时，应变量有一个完全确定的数值与之对应，如：y=2x+1 回归关系：变量间虽然存在一定的关系，但关系不是十分确定，如本例。,直线回归方程： 为自变量的取值 为当
3、 取某一值时应变量y的平均估计值 为截距(intercept)，即当 时y的平均估计值 b为回归系数(regression coefficient)，表示改变一个单位 时y的平均改变量。,a0,a=0,a0,b0： 每增加（减少）一个观测单位， 增加（减少）b个单位。,b0,b0： 每增加（减少）一个观测单位， 减少（增加）|b|个单位。,b0,b=0： 与 没有直线回归关系。,b=0,回归方程的估计,原理：最小二乘法(least square method) 各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小,计算公式,其中,本例,故所求回归方程为：,直线回归的统计推断,样本回归系数b 总体回归系数
4、对的两种假设检验方法： 方差分析法 t检验法,方差分析法,总变异的分解,即：,：总离均差平方和 （不考虑回归关系的总变异） ：回归平方和（总变异中可以用回归关系所 解 释的部分。值越大，说明回归效果越好。） ：残差平方和（总平方和中无法用回归关系解 释的部分随机误差）,自由度的分解,构造F统计量,方差分析表,本例,1.建立检验假设，确定检验水准,2.计算检验统计量,3.确定P值，作出统计推断,P0.01，按照0.05检验水准拒绝H0。回归方程有统计学意义，可以认为腹腔内脂肪面积与腰围之间有直线回归关系。,t检验法,公式： 其中：,本例,查t界值表 ，得P0.001，结论与方差分析法一致 实际上
5、：对同一资料作总体回归系数是否为0的假设检验，方差分析和t 检验是一致的。,总体回归系数的区间估计,本例：,决定系数(coefficient of determination),反映了回归贡献的相对程度，即在因变量y的总变异中用y与x回归关系所能解释的比例。在实际应用中，常用决定系数来反映回归的实际效果。本例决定系数为0.581,直线回归分析的应用,因变量总体条件均数的置信区间估计 应变量个体y值的预测区间,总体条件均数的置信区间估计,点估计： 是在给定x=xp下的条件平均值的点估计 的1-的置信区间估计 公式为：,其中：,应变量个体y值的预测区间,对于给定的x=xp，y值的预测区间 计算公式
6、为： 其中：,二者的区别(置信带和预测带）,直线回归分析需注意的问题,回归分析前应绘制散点图（必需有直线趋势时，才适宜作直线回归分析。应注意资料有无离群点（outlier）及离群点的处理。,模型假设条件的考察（残差图）,结果的解释及正确应用 反映自变量对应变量数量上影响大小的是回归系数 ，而非P值。 内插与外推,直线回归与直线相关分析的联系与区别,联系,对于服从双变量正态分布的同一组数据，既可作直线相关分析又可作直线回归分析，相关系数与回归系数正负号一致。本例：r=0.762 b=2.11 对于同一样本，相关系数与回归系数的假设检验等价 。tb=tr,对于服从双变量正态分布的同一组资料 用回归可以解释相关：,区别,资料要求：直线相关要求双变量正态分布，直线回归要求给定自变量值时，因变量服从正态分布 应用及意义：相关系数说明两变量间相互关系的方向与密切程度 ；回归系数说明两变量的数量依存关系,计算公式： 取值范围： 单位：相关系数无单位，回归系数有单位,
