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1、护士工作时间调度的最优模型 何挺 严茂花 万启龙 摘要：本文主要建立整数规划模型解决护士工作时间调度的问题。模型I、II：针对问题1，考虑到每个护士一天工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时，我们建立了以满足需求时需要工作的最少护士人数为目标函数的整数规划模型。用软件求解得到满足需求至少需要的护士为100名，且第1、2、11、12时段开始工作的人数、分别为：23、17、12、0、0、11、17、13、7、0、0、0人；对应时段内实际工作的护士人数分别为：30、40、29、35、40、40、40、41、35、35、30、20人。从此工作时间调度表可以看出凌晨0：00到早上4：00这段时间，
2、安排开始上班和下班的总人数有59人，占满足需求时需要工作的最少护士人数的59%。这不利于这段时间开始上班和下班的护士的生活，会引起护士对工作时间调度的不满意，为降低不满意度，我们对模型I进行改进，即给出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的人数最少为目标函数，建立模型II。用软件求得这段时间开始上班和下班的人数为10人,所占比率为10%。提高了护士对工作时间安排满意度，并给出最佳工作时间安排。模型III、IV：针对问题2，在医院护士人数不足的情况下需要部分护士加班。同问题1类似分析，建立以需要加班的护士人数最少为目标函数的整数规划模型。用软件求得需要加班的最少护士人数为40人
3、。同模型II分析，此安排在凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）和下班的人数有29人，占医院护士人数的36.25%,也比较大。所以对模型III进行改进，也即给出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00这段时间开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）的下班的人数最少为目标函数，建立模型IV，利用软件处理得到这段时间开始上班和下班的护士为5人，所占比率为6.25%。并给出医院护士在只有80名的情况下护士的工作时间最佳安排。针对模型II和模型IV对各个时段所需的护士人数、医院护士人数最少、医院护士人数限定以及最少加班人数作灵敏度分析。得出，在模型II中如过
4、医院的护士增加到100人，凌晨0：00到早上4：00这段时间，安排开始上班和下班的人数为0，即护士对工作时间调度的满意度最高；在模型IV中，医院护士加班的人数增多5人，在凌晨0：00到早上4：00这段时间安排开始上班和下班的人数才减少1人，而医院的护士人数增加为85人时，这段时间开始上班和下班的人数就可减少到0，所以我们建议医院最好采用增加护士人数的办法来增加护士的满意度。关键字：整数规划模型 护士工作时间调度 满意度 人性化安排。 软件 灵敏度分析一 问题重述某医院一个工作日（分为12个两小时长的时段）每个时段需要护士人数如下表： 每个时段的人员需求表编号 时段 需要护士人数0 00am-0
5、2am 151 02am-04am 152 04am-06am 153 06am-08am 354 08am-10am 405 10am-12pm 40 6 12pm-02pm 407 02pm-04pm 308 04pm-06pm 319 06am-08pm 3510 08am-10pm 3011 10pm-12am 20问题1：假定每个护士每天工作8小时，且在连续工作4小时后需要休息2小时，请计算为满足需求至少需要多少个护士。问题2：此医院目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，因此需要安部分人加班，每天加班时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，请给出护士工作
6、时间安排方案，以使需要加班的护士人数最少。二 模型假设模型I、II的假设：1、假设每个护士都服从工作安排；2、假设每个护士都准时上、下班，在上班期间无特殊情况发生,不需要请假；3、假设每个护士每天工作8小时，且连续工作4小时后只能休息2小时，在休息2小时后连续工作；4、假设在夜晚要上班的护士所要休息的2个小时都在医院休息。模型III、IV的假设：1、假设此医院目前只有80名护士，且每名护士都要上班，无请假人员；2、假设80名护士不能满足要求，需要安排部分人加班；3、假设每天加班的时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息时间。三 符号约定：为满足要求至少需要的护士人数；：在
7、护士人数不满足要求时，至少需要加班的护士人数；：第个时段医院需要护士人数；：第个时段开始工作的护士人数，(第1时段为0002，第2时段为0204第12时段为1012)，；：第个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数，； ：第个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数，。四 问题分析根据医院需求，我们需要合理安排护士的工作时间。问题1：我们需要保证在每个时段都有足够的护士在工作。考虑到护士一天只工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时。例如：在第6时段内工作的护士人数等于此时段开始工作的护士人数、第5时段开始工作的人数、以及第2个和第3个时段开始工作的护士人数之和。即：在时段6中，正在工作的
8、护士分别在时段2、3、5、6开始工作，例如：有个护士在时段2开始工作，则她在时段2和时段3中将进行工作，在时段4休息，然后在时段5和时段6继续工作。所以以满足要求时需要工作的最少护士人数为目标函数，护士一天工作八小时，且连续工作四小时后需要休息2小时为约束条件，建立整数规划模型，求出满足需求时需要护士的最少人数。此工作时间安排可以满足医院需求，但按此工作时间调度表，凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班的护士人数很多人，所占总人数的比率很大，考虑到这样的工作时间调度表可能会引起在这段时间内开始上班和下班的护士的不满，为解决不满，我们对模型I进行改进，以凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班
9、的护士人数最少为目标函数，建立模型II，利用软件求出更为合理的护士工作时间调度表。问题2：此医院目前只有80名护士，这个数目不足以满足需求，故需要安排部分人加班。考虑到护士每天只加班两小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，同问题一类似分析，例如：在第6时段内工作的护士人数等于此时段开始工作的护士人数、第5时段开始工作的人数、第2个和第3个时段开始工作的护士人数以及第1时段开始工作的护士人数中需要加班的护士人数之和。建立整数规划模型III，利用软件处理求出最少加班人数。同问题1，考虑到凌晨0：00到早上4：00开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）和下班的护士较多，所
10、占比率较大。我们对模型III进行改进，建立以凌晨0：00到早上4：00这段时间开始上班（包括需要加班的护士和不需要加班的护士）的下班的人数最少为目标函数的规划模型，用软件处理求得更为合理的护士工作时间调度表。五 模型的建立与求解模型I：首先，知某医院的一个工作日分为12个时段，每个时段所需护士的人数不同，所以，必须保证每个时段都有足够的护士在工作；其次，每个护士一天只工作8小时，且连续工作4小时后需要休息2小时，所以可以给出约束条件；接下来，建立以满足需求至少需要的护士人数为目标函数的整数规划模型。模型如下：用软件求解，得：为满足需求，最少需要的护士人数为100人，且第1、2、11、12时段新
11、安排工作的人数、和总的工作人数如下表一所示：时间段开始工作人数总工作人数00:00-02:00233002:00-04:00174004:00-06:00122906:00-08:0003508:00-10:0004010:00-12:00114012:00-14:00174014:00-16:00134116:00-18:0073518:00-20:0003520:00-22:0003022:00-00:00020表一模型II：为更好的对数据进行阐述分析，我们用图将其表示出来。 医院在不同时段所需的护士人数如图一所示：图一通过该图可以看出，医院的护士人数在白天需求量比较多，晚上较少，与针对不
12、同疾病开设的医院在不同时段所需的护士人数进行比较，可推断该医院可能是病人在白天需要护士护理的医院（如心脑血管医院）。 各个时段开始工作的护士人数如图二所示：图二通过该图可以看出：护士在凌晨0：004：00开始上班与下班的总人数为59人，占最少所需护士总人数的59%；在这段时间间开始上班和下班的护士在生活会有很大的不便，如乘车，且所占百分比很大，超过一半。这对在这段时间开始上班和下班的护士有一定的不公平性，会引起这些护士的不满意。为降低不满意度，我们对模型I进行改进。为此本文做如下定义1：表示第个时段开始工作的护士人数，(第1时段为0002，第2时段为0204第12时段为1012)，；当（）中等
13、于0、-1、-2、-3时，分别表示第12、11、10、9个时段开始工作的护士人数。定义2：凌晨0：00到早上4：00开始上班和下班人数的多少为医院护士对工作时间调度表的满意度。这段时间开始上班和下班的人数越多，护士对工作时间调度表的满意度越小，这段时间开始上班和下班的人数越少，护士对工作时间调度表的满意度越大。护士在凌晨0：004：00开始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10个时段开始工作的护士人组成，因此在满足医院各个时段护士需求的条件下，在模型I的基础上医院有100名护士，对护士的满意度可建立模型II，如下：用软件求解，得到第3时段（04：0006：00）开始上班的护士人数为5人；第2时段（02：0004：00）下班的护士人数也即第10时段（18：0020：00）开始上班的护士人数为5人，其他时段开始上班和下班的人数
