《【数学】湖南省长沙市2015届高三5月一模(理)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】湖南省长沙市2015届高三5月一模(理)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2015 年雅礼中学高三数学第一次模拟考试 时量 120 分钟 ,满分 150 分. 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数(为虚数单位 )，是的共轭复数，则的值为（B ） A. 1 B. C.D. 2. 命题 “ 存在，使” 的否定是（ A ） A. 对任意，都有B. 对，都有 C. 存在，使D. 存在，使 3. 设随机变量， 则（ D ） A0.4 B0.5 C0.6 D0.7 4 已知 x，y 满足的最大值是最小值的4 倍， 则的值是（B ） ABCD 4 5. 双曲线的一个顶点到一条渐近
2、线的距离为，则双曲线的离心率 为（D ） A. B. C. D. 6. 五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（C ） A12 B24 C36 D48 7. 如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（A ） iz1i zz z 1 2 2 2 1 2 2x4 2 x 2x4 2 x2x4 2 x 2x4 2 x2x4 2 x 2 ,1 =2 =0.3NPP，且 21 =P 22 yx xyzxy xa ，且a 3 4 1 4 2 11 22 22 1(0,0) xy ab ab2 a 23 2 23 3 32 2 A. 3 B. 4 C. 5 D.
3、 6 8. 已知数列为等比数列，且，则 的值为 ( C ) ABCD 9. 某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ C） A B C D 10.已知函数,则函数的零点个数不可能是（D） A0 B1 C2 D3 二、填空题：本大题共6 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共 25 分. （一）选做题：在11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分. 11.如图，圆A 与圆 B 交于 C、D 两点，圆心B 在圆A 上， DE 为圆 B 的直径。已知 n a 2 2 20132015 0 4aax dx 2014201220142016 2aaaa 2 22 4
4、 0),1( 0, 1 1 )( xxf x x x xfaexfxg x )()( 3 ，则圆 A 的半径为4 。 12.极坐标系下，P为曲线上的动点， Q 为曲线上的动点，若线段长度的最小值为，则的值为3 。 13.关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是. （二）必做题（1416 题） 14. 如图在平行四边形中，已知，则 的值是4 . 15.某商品一直打7 折出售， 利润率为，购物节期间， 该商品恢复了原价，并参加了 “ 买 一件送同样一件” 的活动，则此时的利润率为.（注：利润率=(销售价格 -成本 )成 本） 16. 等腰中，为中点， 则面积的最大值为。 【解析】 三、解答题：本
5、大题共6 小题，共75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分12 分） 如图是函数图像的一部分。 4, 1 DECE 2sin()(0) 4 a a p rq 2sinrqPQ12a x011mxxm)0, 2( ABCD8,4ABAD3,2CPPD AP BP AB AD %47 %5 ABCDACABDAC1BDABCD 3 2 3 2 9 256 ) 9 20 (9 8 1 ) 1 4 5 ( 2 1 ) 1 4 5 (1 2 1 , 1 4 5 cos 2222 2 2 2 ttt b bS b A ( )sin()(0,0,) 2 f xAxA 4 （1
6、）求出的值； （2）当时，求不等式的解集。 【解析】（1） （2）由 由得,. 18.（本小题满分12 分） 甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2 胜或者累计 2 和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累 计 2 胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为X. （1）设事件A：“X=3且甲获得冠军” ，求 A 的概率； （2）求 X 的分布列和数学期望。 【解析】（1）设：甲恰胜 2 局；：和 2 局； 则 （2）； 分布列为： ,A ) 2 ,0( x2) 62 () 6 ( 2 x f xf 2,2, 3
7、 A 2 2sin 24sin2xxsin 2cos20sin(2)0 4 xxx ) 2 , 0( x 5 2(,) 444 x 3 2(0,) 448 xx 3 1 1 A 2 A 27 8 3 1 ) 3 2 3 1 ( 3 1 ) 3 2 3 1 ()()()()( 1 2 1 22121 CCAPAPAAPAP 3 1 ) 3 1 (3)2( 2 XP 9 4 3 1 ) 3 2 3 1 (3)3( 1 2 CXP 9 2 ) 3 1 ()4( 33 3 AXP 5 X 2 3 4 P 数学期望：. 19（本小题满分12 分） 如图 1，在边长为的正方形中，,且,且， 分别交于点，将
8、该正方形沿折叠，使得与重合， 构成图所示的三棱柱，在图中： （1）求证：； （2）在底边上有一点，使得平面，求点到平面的距离 . 【解析】（1）由平面得；由勾股定理得 ，从而证得平面，从而 （2） 如图建系， 由条件得， 可求得平面的一个法向量为。 设，则 ，由题意有， 解得，则. 3 1 9 4 9 2 9 26 9 2 4 9 4 3 3 1 2EX 12 11A AAA 111 /AACCBB3AB4BC 1 AA 11,CC BBQP, 11, CCBB 1 AA 1 AA 2 111 CBAABC2 PQAB ACM/BMAPQ MPAQ 1 BBABC 1 BB AB BCABAB
9、 11B BCCPQAB 7, 3 CQBPAPQ)1 , 1, 1(n ACAM ) 0,4,33(AMBABM0nBM 7 3 3 n nAM d 6 7 20 （本小题满分13 分） 如图，抛物线与椭圆交于第一象限内一 点，为抛物线的焦点，分别为椭圆的上下 焦点，已知。 （1）求抛物线和椭圆的方程； （2）是否存在经过M 的直线，与抛物线和椭圆分别交于 非 M 的两点，使得？若存在 请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由。 【解析】 （1）由题意得，分别代入抛物线和椭圆方程 得：，. （2）斜率不存在时显然不合题意，由可设， 直线与抛物线联立得：， 由韦达定理及可得； 直线与椭圆联立得：
10、， 由韦达定理及可得。 )0(2: 2 1 ppxyC)2(1 4 : 2 2 2 2 a x a y C MF 1 C 21,F F 2 C 10, 1OFMFOFMF 1 C 2 C l QP, OMQFPF2 21 3, 1 10 1 22 22 MM MM M yx yx pp x xyC9: 2 1 1 412 : 22 2 xy C )3, 1 (M3) 1(:xkyl 0)3()962( 2222 kxkkxk 1 M x 2 2 )3( k k xP 0)36()3(2)3( 222 kkxkkxk 1 M x 2 2 3 36 k kk xQ 8 由可得 ，经检验符合题意。
11、存在符合题意的直线，其斜率为1。 21.数列满足， （1）证明： “ 对任意，” 的充要条件是 “” （2）若，数列满足，设， ，若对任意的，不等式的 解集非空，求满足条件的实数的最小值。 【解析】（1）必要性：，由可得，由 得。 充分性：用数学归纳法证明。 时， 由，得； 设时， 则当时，由，得； 从而，对任意，。 综上，原题充要性得证。 （2）由（ 1）知，所以： ； OMQFPF2 21 09642 23 kkkxxx MQP 10)934)(1( 2 kkkk n a)1 ,0( 1 a)( * 2 1 Nncaaa nnn 1 (0,1)a) 1 ,0( n a) 4 3 ,0c 0
12、, 5 1 1 ca n b n n a b 1 1 nn bbbT 21 nn bbbR 21 * ,10Nnn2015)5( 2 nn TRnkn k 4 1 ) 2 1 ( 2 12 caa)1 ,0( 1 a 4 1 ,( 2 cca )1 ,0( 4 1 ,(cc) 4 3 ,0c 1,2nn已知； 4 1 ) 2 1 ( 2 12 caa)1 ,0( 1 a) 4 3 ,0c)1 ,0( 2 a kn) 1 , 0( k a 1kn 4 1 ) 2 1 ( 2 1 caa kk ) 1 ,0( k a) 4 3 ,0c) 1 , 0( 1k a * Nn)1 ,0( n a )1
13、, 0( n a 112 1 1 2 5 1 1 1 nn n n n n nn n n n aa a a a R a a aa a a b ) 11 ( 1 1 11 1 1 2 1 2 nnnn nn nn n n n nn n n n aaaa aa aa a a a aa a a b 9 ， 对任意有解， 当，；当， 22.（本小题满分13 分） 已知函数，其中. （1）当时，求函数的单调增区间。 （2） 为在处的切线， 且图像上的点都不在的上方，求的取值范围。 【解析】（1）定义域为，当；当 。故， 从而的单调递增区间为. （2）， 令，由题意，恒成立。 时：若，则，若，则 时：若，
14、则，若，则 5 1 ) 11 () 11 () 11 ( 113221nnn n aaaaaaa T 55 nn TR n nkTRnkn nn 2015 52015)5( 2 * ,10Nnn 20n 4 3 200 2015 5 n n21n 4 3 200 21 20 200 2015 5 n n 75.200 min k axxxxf 2 ln)(Ra 1a l)(xf 0 xx)(xfl 0 x Rxxx,00 x12 1 )(x x xf0 x 12 1 )(x x xf1, 2 1 0 12 12 1 )( 21 2 xx x xx x x xf )(xf)1 ,0(), 2 1
15、 ,( x axx xf 12 )( 2 )()(: 000 xfxxxfyl )()()()( 000 xfxxxfxfxg0)(xg x x xxx xfxfxg ) 2 1 )(2 )()()( 0 0 0 0 0 x0 x)()( 0max xgxg0 x) 2 1 ()( 0 max x gxg 0 0 x0 x) 2 1 ()( 0 max x gxg0 x)()( 0max xgxg 10 综上，原条件等价于且，易得符合题意。 故。令 设，又 0)( 0 xg0) 2 1 ( 0 x g0)( 0 xg 0 4 1 )2ln(0) 2 1 ( 2 0 2 0 2 0 0 x xx x g0 4 1 )2ln( 2 0 t ttxt )(0 4 )12( )( 4 1 )2ln()( 2 2 th t t th t ttth0) 2 1 (h ), 2 2 2 2 ,( 2 1 ) 2 1 (0)( 0 xtgth
