《414编号2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《414编号2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理科数学 平面向量 - 1 - 第一部分平面向量的概念及线性运算第一部分平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量 ； 向量的大小叫做向 量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作 0 0 单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量a a的单位向量为 a a |a a| 平行向量方向相同或相反的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 0 0 与任一向量平行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等， 不能比较 大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0 0 的相反向量为 0
2、 0 2.向量的线性运算 向量 运算 定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 (1)交换律：a ab bb ba a. (2)结合律： (a ab b)c c a a(b bc c) 减法 求a a与b b的相反向量 b b的和的 运算叫做 a a与b b的差 a ab ba a(b b) 数乘 求实数与向量a a的 积的运算 (1)|a a|a a|； (2)当0 时，a a的方向与a a 的方向相同；当0 时，a a 的方向与a a的方向相反 ； 当 0 时，a a0 0 (a a)a a； ()a aa aa a； (a ab b)a ab b 3.共线向量定理 向量a a
3、(a a0 0)与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得b ba a. 【基础练习】【基础练习】 理科数学 平面向量 - 2 - 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)零向量与任意向量平行.() (2)若a ab b，b bc c，则a ac c.() (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()AB CD (4)当两个非零向量a a，b b共线时，一定有b ba a，反之成立.() (5)在ABC中，D是BC中点，则 ().()AD 1 2 AC AB 2.给出下列命题 ： 零向量的长度为零，方向是任意的 ； 若a a，b b都是单位向量，则a ab b；
4、向量与相等.则所有正确命题的序号是()AB BA A. B. C. D. 3.(2017枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点，若(R R)，AD 1 3AB 4 3AC BC DC 则() A.2 B.3 C.2 D.3 4.(2015全国卷)设向量a a，b b不平行， 向量a ab b与a a2b b平行， 则实数_. 5.(必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O， 且a a，b b， 则_，OA OB DC _(用a a，b b表示).BC 6.(2017嘉兴七校联考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC， 若1 1 2 2 3 DE 2(
5、1，2为实数)，则1_，2_.AB AC 考点一平面向量的概念考点一平面向量的概念 【例 1】 下列命题中，不正确的是_(填序号). 若|a a|b b|，则a ab b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 ；AB DC 若a ab b，b bc c，则a ac c. 【训练 1】 下列命题中，正确的是_(填序号). 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a a与向量b b平行，则a a与b b的方向相同或相反； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确
6、，若a a与b b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相 同或相反； 理科数学 平面向量 - 3 - 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 考点二平面向量的线性运算考点二平面向量的线性运算 【例 2】 (2017潍坊模拟)在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点， 且APAB，BQBC. 1 3 1 3 若a a，b b，则()AB AC PQ A.a ab b B.a ab b 1 3 1 3 1 3 1 3 C.a ab b D.a ab b 1 3 1 3 1 3 1 3 【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，
7、点E是DC的中点，点F是BC的一个靠 近B点的三等分点，那么等于()EF A.B. 1 2AB 1 3AD 1 4AB 1 2AD C.D. 1 3AB 1 2DA 1 2AB 2 3AD 考点三共线向量定理及其应用考点三共线向量定理及其应用 【例 3】 设两个非零向量a a与b b不共线. (1)若a ab b，2a a8b b，3(a ab b).求证：A，B，D三点共线；AB BC CD (2)试确定实数k，使ka ab b和a akb b共线. 【训练 3】已知向量a a3b b，5a a3b b，3a a3b b，则()AB BC CD A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
8、 C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线 第二部分平面向量基本定理与坐标表示第二部分平面向量基本定理与坐标表示 1.平面向量的基本定理 如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一 对实数1，2，使a a1e e12e e2. 其中，不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 a ab b(x1x2，y1y2)，
9、a ab b(x1x2，y1y2)，a a(x1，y1)，|a a|.xy 理科数学 平面向量 - 4 - (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.AB AB （x2x1）2（y2y1）2 4.平面向量共线的坐标表示 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1y2x2y10. 【基础练习】【基础练习】 1.(2017东阳月考)已知向量a a(2，4)，b b(1，1)，则 2a ab b等于() A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9) 2.(201
10、5全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()AC BC A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4) 3.(2016全国卷)已知向量a a(m，4)，b b(3，2)，且a ab b，则m_. 4.(必修 4P101A3 改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐 标为_. 考点一平面向量基本定理及其应用考点一平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点， 则(EB FC ) A. B. C. D.AD 1 2AD 1 2BC BC 【训练 1】如图，
11、已知a a，b b，3，用a a，b b表示，则AB AC BD DC AD AD _. 考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知向量a a(5， 2)，b b(4， 3)，c c(x，y)， 若 3a a2b bc c0 0， 则c c () A.(23，12) B.(23，12) C.(7，0) D.(7，0) 【训练 2】 (1)已知点A(1，5)和向量a a(2，3)，若3a a，则点B的坐标为()AB A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4) D.(5，14) (2)(2015江苏卷)已知向量a a(2， 1)，b b(1， 2).若ma an
12、b b(9， 8)(m，nR R)， 则mn 的值为_. 理科数学 平面向量 - 5 - 考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示 【例 3】 (1)已知平面向量a a(1，2)，b b(2，m)，且a ab b，则 2a a3b b_. (2)(必修 4P101 练习 7 改编)已知A(2， 3)，B(4， 3)， 点P在线段AB的延长线上， 且|AP| |BP|， 3 2 则点P的坐标为_. 【训练 3】 (1)(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单AB 位向量是() A. B. C. D. ( 3 5， 4 5)( 4 5， 3 5
13、)( 3 5， 4 5)( 4 5， 3 5) (2)若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_. 第三部分平面向量的数量积及其应用第三部分平面向量的数量积及其应用 1.平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a a和b b，记a a，b b，则AOB(0180)OA OB 叫做向量a a与b b的夹角. (2)数量积的定义 ： 已知两个非零向量a a与b b，它们的夹角为，则数量|a a|b b|cos_ 叫做 a a与b b的数量积(或内积)，记作a ab b，即a ab b|a a|b b|cos_，规定零向量与任一向量的数 量积为 0，即
14、0 0a a0. (3)数量积几何意义：数量积a ab b等于a a的长度|a a|与b b在a a的方向上的投影|b b|cos的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为向量a a，b b的夹角. (1)数量积：a ab b|a a|b b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a a|.a aa axy (3)夹角：cos . a ab b |a a|b b| x1x2y1y2 xyxy (4)两非零向量a ab b的充要条件：a ab b0 x1x2y1y20. (5)|a ab b|a a|b b|(当且仅当a ab b时等号
15、成立)|x1x2y1y2| .xyxy 3.平面向量数量积的运算律：(1)a ab bb ba a(交换律).(2)a ab b(a ab b)a a(b b)(结 合律).(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律). 【基础练习】【基础练习】 1.(2015全国卷)向量a a(1，1)，b b(1，2)，则(2a ab b)a a等于() A.1 B.0 C.1 D.2 2.(2017湖州模拟)已知向量a a，b b，其中|a a|，|b b|2，且(a ab b)a a，则向量a a和b b的3 夹角是_. 理科数学 平面向量 - 6 - 3.(2016石家庄模拟)已知平面向量a a，b b的夹角为， |a a|2， |b b|1， 则|
