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1、第四章 弯曲内力,41 平面弯曲的概念,42 梁的剪力和弯矩,43 剪力图和弯矩图,44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系,45 按叠加原理作弯矩图,41 平面弯曲的概念,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,3. 工程实例,二、平面弯曲,杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。,三、简单静定梁,悬臂梁,简支梁,外伸梁,火车轮轴简化,梁的载荷与支座,车削工件,吊车大梁简化,受均布载荷,4
2、2 梁的剪力和弯矩,F,A,B,a,l,F,A,B,FAx,FAy,FB,荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。,P,A,B,a,l,将梁从位置截开，取左侧。,x,A,FAy,Fs,M,x,因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs 表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M 表示之。,剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；,弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。,Fs,Fs,Fs,Fs,M,M,M,M,剪力正负的规定,弯矩正负的规定,内力通过平衡方程计算。,A,FAy,Fs,M,x,计算
3、梁内力的步骤：, 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；, 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；, 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；, 列平衡方程 Fx= 0，求剪力FS ； m= 0，求弯矩。,例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FA,FB,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。,C,P=12kN,22截面,FA,2,2,Fs2,M2,A,FA,3,3,Fs3,M3,A,3
4、3截面,D,2,2,3,3,P,Fs3,M3,Fs2,M2,由2、3 截面的内力计算可得如下结论：, 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；, 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。,C,4,4,M4,Fs4,44 截面,由44 截面的内力计算可得如下结论：, 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0 ；, 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0 。,例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体，,11截面,FA,1,1,Fs1,A,M1,m1,FA,2,2,Fs2,M2,A,3,3,Fs3,M3,B,m1,22截面
5、,33截面,FB,由2、3 截面的内力计算可得如下结论：, 集中力偶两侧截面的的剪力相等；, 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。,C,2,2,3,3,Fs3,M3,FS2,M2,m2,例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,B,FA,2,2,Fs2,M2,A,m,22截面,3,3,Fs3,M3,FB,q,33截面,B,43 剪力图和弯矩图,q,x,q,l-x,l,Fs(x),M(x),图示梁任一截面的内力。,截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。,截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩
6、方程。,q,x,l,剪力方程 的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。,剪力图,ql,x,Fs,弯矩方程 的函数图象称为弯矩图。,-ql2/2,弯矩图,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩 方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,4,例题5,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyF b/ l FByF a/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题6,图示简支梁C点受集中力偶作用
7、。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题7,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题8,44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系,A,B,dx,x,q(x),M(x)+d M(x),Fs(x)+d Fs(x),Fs(x),M(x),dx,o,取微段dx ，受力如图。,A,B,dx,x,略去高阶微量得：, 当q = 0 ，Fs =常数， F
8、s 图为平直线；,M 为一次函数，M 图为斜直线；, 当q =常数 ， Fs为一次函数， Fs 图为斜直线；,M 为二次函数，M 图为抛物线；,当M 图为抛物线时，画M 图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。,由：,可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。,1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。 3、 的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。,根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。,另外：,根据M、 Fs与q之间的关系画剪力图
9、和弯矩图的步骤如下：, 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；, 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；, 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由Fs = 0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；, 用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。,例9 画图示梁的剪力图和弯矩图。,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,B,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,F
10、B=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,FA,2,2,Fs2,M2,A,6,6,6,12,B,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,6,6,-18,12,FA,3,3,Fs3,M3,A,m,24,B,4,4,M4,Fs4,FB,6,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,FB=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,6,6,-18,12,24,B,6,6kN,18kN,3m,5,5,5,5,Fs5,M5,FB,q,0,27,12kN.m
11、,24kN.m,27kN.m,B,例10 画图示梁的剪力图和弯矩图。,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA,FB,3,2m,1,1,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,5,FA,3,3,Fs3,M3,A,F,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,1
12、0kN.m,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs 图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,5,RA,4,4,Fs 4,M4,A,P,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,10kN.m,8kN.m,8,8,例11 画图示梁的内力图。,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FB,mA,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,FB=12kN,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,mA=8kN.m,P=4kN,2,2,FB,Fs2,M2,-8,-8,-8,4kN,8kN,8kN.m,8kN.m,C,B,例12 画图示梁的内力图。,
