《热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答（最新编写-修订版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答（最新编写-修订版）（187页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pVnRT （1） 由此易得 11 , p VnR VTpVT （2） 11 , V pnR pTpVT （3） 2 111 . T T VnRT VpVpp （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p的物质， 其物态方程可由实验测 得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得： ln T V =dT dp 如果 11 , T Tp ，试求物态方程。 解：以,Tp为自变量，物质的物态方程为 ,VV Tp 其全微分为 . p T VV dVdTdp Tp （1） 全
2、式除以V，有 11 . p T dVVV dTdp VVTVp 根据体胀系数和等温压缩系数 T 的定义，可将上式改写为 2 . T dV dTdp V （2） 上式是以,Tp为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ln. T VdTdp （3） 若 11 , T Tp ，式（3）可表为 11 ln.VdTdp Tp （4） 选择图示的积分路线，从 00 (,)Tp积分到 0 ,Tp，再积分到（,Tp） ，相应地体 积由 0 V最终变到V，有 000 ln=lnln, VTp VTp 即 00 0 p VpV C TT （常量） ， 或 .p VC T （5） 式（5）就是由所给 11
3、, T Tp 求得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的 实验数据。 3 1.3 在0 C和 1 n p下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 5171 4.85 10 K7.8 10. n p T 和 T 和可近似看作常量， 今使铜块加热至10 C。 问： （a）压强要增加多少 n p才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加 100 n p，铜块的体积改变多少？ a）根据 1.2 题式（2） ，有 . T dV dTdp V （1） 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之 间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为 . T dpdT （2）
4、在和 T 可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 2121 . T ppTT （3） 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态 和终态的压强差和温度差满足式（3） 。 但是应当强调，只要初态 1 ,V T和终 态 2 ,V T是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3） 。 这是因为，平 衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历 史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热 过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只 要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3） 。 将所给
5、数据代入，可得 5 21 7 4.85 10 10622. 7.8 10 n ppp 因此，将铜块由0 C加热到10 C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622 n p （b）1.2 题式（4）可改写为 2121 1 . T V TTpp V （4） 将所给数据代入，有 4 57 1 4 4.85 10107.8 10100 4.07 10 . V V 因此，将铜块由0 C加热至10 C，压强由1 n p增加100 n p，铜块体积将增加原体 积的 4 4.07 10倍。 1.4 简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数 T 数值都很小，在一 定温度范围内可以把和 T 看作常量. 试证明简单固体
6、和液体的物态方程可 近似为 000 ( ,), 01. T V TpV TTTp 解: 以,Tp为状态参量，物质的物态方程为 ,.VV Tp 根据习题 1.2 式（2） ，有 . T dV dTdp V （1） 将上式沿习题 1.2 图所示的路线求线积分， 在和 T 可以看作常量的情形下， 有 00 0 ln, T V TTpp V （2） 或 00 00 ,. T T Tp p V TpV Tpe （3） 考虑到和 T 的数值很小，将指数函数展开，准确到和 T 的线性项，有 0000 ,1. T V TpV TpTTpp （4） 如果取 0 0p ，即有 00 , 01. T V TpV T
7、TTp （5） 1.5 描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力 J，物态方程是 , ,0f J L T 实验通常在 1 n p下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为 5 1 J L LT 等温杨氏模量定义为 T LJ Y AL 其中A是金属丝的截面积，一般来说，和Y是 T 的函数，对 J 仅有微弱 的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。 试证明，当温度由 1 降至 2 时，其张力的增加为 21 JYATT 解：由物态方程 , ,0f J L T （1） 知偏导数间存在以下关系： 1. JLT LTJ TJL （2） 所以，有 . LJT JLJ TTL
8、 A LY L AY （3） 积分得 21 .JYATT （4） 与 1.3 题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只 要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 21 ,JJ L TJ L T 就满足式（4） ，与经历的过程无关。 1.6 一理想弹性线的物态方程为 2 0 2 0 , LL JbT LL 6 其中L是长度， 0 L是张力 J 为零时的 L 值， 它只是温度 T 的函数， b 是常量. 试 证明： （a）等温扬氏模量为 2 0 2 0 2 . LbTL Y ALL 在张力为零时， 0 3 . bT Y A 其中 A 是弹性线的截面面积。 （b）线胀系数为 3 3
9、0 0 3 3 0 1 1 , 2 L L LT L 其中 0 0 0 1 . dL L dT （c）上述物态方程适用于橡皮带，设 31 300K,1.33 10 N K ,Tb 6241 0 1 10 m ,5 10 KA ，试计算当 0 L L 分别为0.5, 1.0, 1.5和2.0时的,J Y值， 并画出,J Y对 0 L L 的曲线. 解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为 2 0 2 0 , LL JbT LL （1） 由此可得等温杨氏模量为 22 00 22 00 221 . T LLLJLbTL YbT ALALLALL （2） 张力为零时， 00 3 ,. bT LLY
10、 A （b）线胀系数的定义为 1 . J L LT 由链式关系知 7 1 , LT JL LTJ （3） 而 2 000 222 00 2 0 3 0 2 , 21 , L T LLdLJLL bbT TLLLLdT LJ bT LLL 所以 2 3 000 222 3 00 00 3 2 0 0 3 3 0 0 2 1 111 . 21 2 LLdLLLL bbT LLLLdTdLL LLL dTTL bT L LL （4） （c）根据题给的数据，,J Y对 0 L L 的曲线分别如图 1-2 （a） ，（b） ，（c） 所示。 8 1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强
11、达到外界 压强 0 p时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能U与原来在大气中的内能 0 U之差为 000 UUp V， 其中 0 V是它原来在大 气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在 大气中的内能 0 U由式（1.5.3） 0 UUWQ （1） 确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0.Q 过程 中外界对系统所做的功可以分为 1 W和 2 W两部分来考虑。一方面，大气将系统 压入小匣，使其在大气中的体积由 0 V变为零。由于小匣很小，在将气体压入 小匣的过程中大气压强
12、 0 p可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静 态的） 。过程中大气对系统所做的功为 1000. WpVp V 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外 界也就没有功交换，则 2 0.W 因此式（1）可表为 000. UUp V （2） 如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10） ，有 00 ,p VnRT （3） 000 ()() 1 V nR UUC TTTT （4） 式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有 0. TT （5） 活门是在系统的压强达到 0 p时关上的， 所以气体在小匣内的压强也可看作 0 p， 其物态方程为 00. p
13、VnR T （6） 与式（3）比较，知 0. VV （7） 1.8 满足 n pVC的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证 9 明：理想气体在多方过程中的热容量 n C为 1 nV n CC n 解：根据式（1.6.1） ，多方过程中的热容量 0 lim. n T nnn QUV Cp TTT （1） 对于理想气体，内能 U 只是温度 T 的函数， , V n U C T 所以 . nV n V CCp T （2） 将多方过程的过程方程式 n pVC与理想气体的物态方程联立，消去压强p可 得 1 1 n TVC （常量） 。 （3） 将上式微分，有 12 (1)0, nn VdTnVTdV 所以 . (1) n VV TnT （4） 代入式（2） ，即得 , (1)1 nVV pVn CCC T nn （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9） 。 1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量 n C 如果是常数，该过程一 定是多方过程，多方指数 np nV CC n CC 。假设气体的定压热容量和定容热容量是 常量。 解：根据热力学第一定律，有 10 .dUQW （1） 对于准静态过程有 ,WpdV 对理想气体有 , V dUC dT 气体在过程中吸收的热量为 , n Q
