《初中数学《最短路径问题》典型题型复习（最新编写-修订版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学《最短路径问题》典型题型复习（最新编写-修订版）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 初中数学最短路径问题典型题型初中数学最短路径问题典型题型 知识点 ： “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮 马问题”， “造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三 角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路 ： 找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等 变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P， 使得 PA+PB 最小。 解 ： 连接 AB,线段 AB 与直线 L 的交点 P ， 就是所求。 （根据 ： 两点 之
2、间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应 建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A 关于直线“街道” 的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C 就是所求的点 三、一点在两相交直线内部三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图 A 是锐角MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C， 组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点 A 关于 OM， ON 的对称点 A，A；连接 A，A，分别交 OM， ON 于 点 B、点 C，则点
3、 B、点 C 即为所求 分析：当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能 使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂 直） 解：1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E， 2.连接 AE 交河对岸与点 M, 则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 D A B M N E 2 证明：由平移的性质，得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=
4、AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、 B 是两个蓄水池，都在河流 a 的同侧，为了方便灌溉作 物，要在河边建一个抽水站，将河水送到 A、B 两地，问该站建在河 边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为 建抽水站的
5、位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上，DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在ACE 中，AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点 D 处， 例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上 摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请 你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D, 2. 作点 C
6、关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N， 则 CM+MN+CN 最短 例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路 线。 作法：1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F, 2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于点 G.H， 则 CG+GH+DH 最短 四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可
7、得最优设计方案。 例:一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为 1，则圆的半径为多少？ （5 或 4） C D A B E a A O B E N C M A O B D C H F G E D 3 四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的 宽可求出最短路程 例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=， BC=3，一只蚂 蚁，要 从 A 点爬行到 C 点，那么，最近的路程长为（） A7BCD5 分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点
8、之间线段最短”得出结果 解：将圆柱体展开，连接 A、C， = =4，BC=3， 根据两点之间线段最短，AC=5 故选 D 五、在长方体（正方体）中，求最短路程五、在长方体（正方体）中，求最短路程 1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程. 例 ： 有一长、宽、高分别是 5cm，4cm，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方 体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处，则需 要爬行的最短路径长为（） A5cmBcmC4cm
9、D3cm 分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间的线段长， 即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长 方体的长宽之和，利用勾股定理可求得 解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线 （1）展开前面、右面，由勾股定理得 AB2=（5+4）2+32=90； （2）展开前面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+4）2+52=74； （3）展开左面、上面，由勾股定理得 AB2=（3+5）2+42=80； 所以最短路径长为cm 例：如图是一个长4m，宽3m，高
10、2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一 只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（） A4.8BC5D 分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知 解：有两种展开方法： 将长方体展开成如图所示，连接 A、B， 根据两点之间线段最短，AB=； 4 将长方体展开成如图所示，连接 A、B，则 AB=5； 所以最短距离 5 例：有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完 全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的 分析：根据题意构建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答 解：如图，BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的
11、高 1m，则 BC=41=3m， AB=94=5m， 在 RtABC 中，AC=4 例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体 的木块，它的棱长和场地宽 AD 平行且AD，木块的正视图是边长为 0.2 米的正方 形，一只蚂蚁从点 A 处， 到达 C 处需要走的最短路程是米（精确到 0.01 米） 分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答 解：由题意可知，将木块展开，相当于是 AB+2 个正方形的宽， 长为 2+0.22=2.4 米；宽为 1 米 于是最短路径为：=2.60 米 例：如图，AB为O直径，AB=2，OC为半径，OCAB,D为AC 三等分点，
12、点P 为 OC 上的动点，求 AP+PD 的最小值。 分折：作 D 关于 OC 的对称点 D，于是有 PA+PDAD, （当且仅当 P 运动到 Po处，等号成立，易求 AD=。3 六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程 将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案 例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8， 底面圆的半径 r=2，若一只小 蚂蚁 从 A 点出发， 绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点， 则蚂蚁爬行的 最短路线长是 （结果保留根式） 小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2r=n.OA,/180 则， 则 22= ， 解得：n=90
13、， 由勾股定理求得它的弦长 AA n8 180 5 一、题中出现一个动点。一、题中出现一个动点。 当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之 间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 上一定点， 且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点，求 PE+PC 最小值。 分析：作 E 关于 BD 对称点 E，E在 AB 上， 有 PE+PC=PE+PCEC 易求 EC=26。 二、题中出现两个动点。 当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称 点.利用两点之间线段最短求出最值。 例：
14、如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(- 4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长最短时,求 m n 。 分折:因 AB 长为定值,四边形周长 最短时有 BC+CD+DA 最短,作 B 关于 y 轴对称点 B, A 关于 x 轴对称点 A, DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(当 D,C 运动到 AB 和 x 轴 y 轴的交点时等号成 立),易求直线 AB解折式 y= +,C0(0,),D0(-,0),此时=- 2 3 x 7 3 7 3 7 2 m n 2 3 三、题中出现三个动点时。 在求解时应注意两点： (1)作定点关于动点所在直线的对称点, (2)
15、同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题. 例：如图，在菱形 ABCD 中,AB=2,BAD=60,E,F,P 分别为 AB,BC,AC 上动点, 求 PE+PF 最小值 6 分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有, PE+PF=PF+PE E F,又因为 E 在 AB 上运动,故当 EF 和 AD,BC 垂直时， E0F 最短,易求 E0F=。 3 例：如图，AOB=45， 角内有一动点 P ， PO=10， 在 AO， BO 上有两动点 Q， R，求PQR 周长的最小值。 分折：作 P 关于 OA，OB 对称点 P1，P2 。 于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P
16、1P2， 由对称性易知P1OP2 为等腰 RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2= 10 2 总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定 点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我 们解决此类问题有事半功倍的作用。 1、运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段 的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓 住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都 相同 注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利 用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类 最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答 非所问 2、利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条
