10-个典型例题掌握初中数学最值问题（最新编写-修订版）

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1、 1 10 个典型例题掌握初中数学最值问题个典型例题掌握初中数学最值问题 解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短；两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键通过转化减少变量，向三个 定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段 几何最值问题中的基本模型举例 图形 l P B A NM l

2、B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B 为定点，l 为定直 线，P 为直线 l 上的一 个动点，求 AP+BP 的 最小值 A，B 为定点，l 为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求 AM+BN 的最小值 A， B 为定点， l 为定直线， P 为直线 l 上的一个动点 ，求|AP-BP|的最大值 轴 对 称 最 值 转化 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 先平移 AM 或 BN 使 M， N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线 l 的对称点 作其中一个定点关于定 直线 l 的对称点 图形 B N M C A B 原理两点之间线

3、段最短 特征 在ABC 中， M， N 两点分别是边 AB， BC 上的动点， 将BMN 沿 MN 翻折， B 点的对应点为 B，连接 AB，求 AB的最小值 折 叠 最 值 转化转化成求 AB+BN+NC 的最小值 二、典型题型二、典型题型 1如图 ： 点 P 是AOB 内一定点，点 M、N 分别在边 OA、OB 上运动，若AOB=45，OP=，则PMN3 2 的周长的最小值为 【分析】 作 P 关于 OA， OB 的对称点 C， D 连接 OC， OD 则当 M， N 是 CD 与 OA， OB 的交点时， PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长根据对称的性质可以证得 ： COD 是等

4、腰直角三角形，据此即可求解 【解答】 解 ： 作 P 关于 OA， OB 的对称点 C， D 连接 OC， OD 则当 M， N 是 CD 与 OA， OB 的交点时， PMN 的周长最短，最短的值是 CD 的长 PC 关于 OA 对称， COP=2AOP，OC=OP 同理，DOP=2BOP，OP=OD 2 COD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB=90，OC=OD COD 是等腰直角三角形 则 CD=OC=3=6222 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解PMN 周长最小的条件是解题的关键 2如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a= 【分析】因为 AB，PN

5、 的长度都是固定的，所以求出 PA+NB 的长度就行了问题就是 PA+NB 什么时候最 短 把 B 点向左平移 2 个单位到 B点 ； 作 B关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，交 x 轴于 P，从而确定 N 点位置， 此时 PA+NB 最短 设直线 AB的解析式为 y=kx+b，待定系数法求直线解析式即可求得 a 的值 【解答】解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B（2，1） ， 作 B关于 x 轴的对称点 B，根据作法知点 B（2，1） ， 设直线 AB的解析式为 y=kx+b， 则，解得 k=4，b=7 12 3 kb kb y=4x7当 y=0

6、 时，x=，即 P（，0） ，a= 7 4 7 4 7 4 故答案填： 7 4 【题后思考】考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识 3 3如图，A、B 两点在直线的两侧，点 A 到直线的距离 AM=4，点 B 到直线的距离 BN=1，且 MN=4，P 为 直线上的动点，|PAPB|的最大值为 D P B N B M A 【分析】作点 B 于直线 l 的对称点 B，则 PB=PB因而|PAPB|=|PAPB|，则当 A，B、P 在一条直线上时， |PAPB|的值最大根据平行线分线段定理即可求得 PN 和 PM 的值然后根据勾股定理求得 PA、PB的值， 进而求得|PAPB|的最大值 【

7、解答】解：作点 B 于直线 l 的对称点 B，连 AB并延长交直线 l 于 P BN=BN=1， 过 D 点作 BDAM， 利用勾股定理求出 AB=5 |PAPB|的最大值=5 【题后思考】本题考查了作图轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键 4动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3，AD=5如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A处， 折痕为 PQ，当点 A在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边 上移动，则点 A在 BC 边上可移动的最大距离为 【分析】本题关键在于找到两个极端，即 BA取最大或

8、最小值时，点 P 或 Q 的位置经实验不难发现，分 别求出点 P 与 B 重合时，BA取最大值 3 和当点 Q 与 D 重合时，BA的最小值 1所以可求点 A在 BC 边上 移动的最大距离为 2 【解答】解：当点 P 与 B 重合时，BA取最大值是 3， 当点 Q 与 D 重合时（如图） ，由勾股定理得 AC=4，此时 BA取最小值为 1 则点 A在 BC 边上移动的最大距离为 31=2 故答案为：2 【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺 乏动手操作习惯，单凭想象造成错误 5如图，直角梯形纸片 ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4

9、，点 E、F 分别在线段 AB、AD 上，将AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于 4 【分析】如图，经分析、探究，只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小 ； 根据勾股定理求出 BD 的长度，问题即可解决 【解答】解：如图， 当点 P 落在梯形的内部时，P=A=90， 四边形 PFAE 是以 EF 为直径的圆内接四边形， 只有当直径 EF 最大，且点 A 落在 BD 上时，PD 最小， 此时 E 与点 B 重合； 由题意得：PE=AB=8， 由勾股定理得： BD2=82+62=80， BD=，4 5 PD

10、=4 58 【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为 核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动 6如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之 在 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离 为 【分析】 取 AB 的中点 E， 连接 OD、 OE、 DE， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE= AB， 利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形任意两

11、边之和大于第三边可得 OD 过点 E 时最大 【解答】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE， MON=90，AB=2 OE=AE=AB=1， 1 2 BC=1，四边形 ABCD 是矩形， AD=BC=1， DE=，2 根据三角形的三边关系，ODOE+DE， 5 当 OD 过点 E 是最大，最大值为+12 故答案为：+12 【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关 系，勾股定理，确定出 OD 过 AB 的中点时值最大是解题的关键 7如图，线段 AB 的长为 4，C 为 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧

12、作等腰直角ACD 和等腰直角BCE，那么 DE 长的最小值是 【分析】设 AC=x，BC=4x，根据等腰直角三角形性质，得出 CD=x，CD=（4x） ，根据勾股定 2 2 2 2 理然后用配方法即可求解 【解答】解：设 AC=x，BC=4x， ABC，BCD均为等腰直角三角形， CD=x，CD=（4x） ， 2 2 2 2 ACD=45，BCD=45， DCE=90， DE2=CD2+CE2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4， 1 2 1 2 根据二次函数的最值， 当 x 取 2 时，DE 取最小值，最小值为：4 故答案为：2 【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形

13、，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最 值 8 如图， 菱形 ABCD 中， AB=2， A=120， 点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上的任意一点， 则 PK+QK 的最小值为 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点 P 关于 BD 的对称点 P，连接 PQ 与 BD 的交点即为所求的 点 K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知 PQCD 时 PK+QK 的最小值， 然后求解即可 【解答】解：如图，AB=2，A=120， 点 P到 CD 的距离为 2=， 3 2 3 PK+QK 的最小值为3 6 故答案为：3 【题后思考】本题考查了菱形的性

14、质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定 最短路线的方法是解题的关键 9如图所示，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上的任意一点（可与 B、C 重合） ，分别过 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别为 B、C、D，则 BB+CC+DD的取值范围是 【分析】首先连接 AC，DP由正方形 ABCD 的边长为 1，即可得：SADP=S正方形 ABCD=， 1 2 1 2 SABP+SACP=SABC=S正方形 ABCD=，继而可得AP（BB+CC+DD）=1，又由 1AP，即可求得 1 2 1 2 1 2 2 答案 【解答】解：连接 AC，DP 四边形

15、ABCD 是正方形，正方形 ABCD 的边长为 1， AB=CD，S正方形 ABCD=1， SADP=S正方形 ABCD=，SABP+SACP=SABC=S正方形 ABCD=， 1 2 1 2 1 2 1 2 SADP+SABP+SACP=1， APBB+APCC+APDD=AP（BB+CC+DD）=1， 1 2 1 2 1 2 1 2 则 BB+CC+DD=， 2 AP 1AP，2 当 P 与 B 重合时，有最大值 2； 当 P 与 C 重合时，有最小值2 BB+CC+DD22 故答案为：BB+CC+DD22 【题后思考】 此题考查了正方形的性质、 面积及等积变换问题 此题难度较大， 解题的

16、关键是连接 AC， DP， 根据题意得到 SADP+SABP+SACP=1，继而得到 BB+CC+DD= 2 AP 7 10如图，菱形 ABCD 中，A=60，AB=3，A、B 的半径分别为 2 和 1，P、E、F 分别是边 CD、A 和B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值，进而求出即可 【解答】解：由题意可得出：当 P 与 D 重合时，E 点在 AD 上，F 在 BD 上，此时 PE+PF 最小， 连接 BD， 菱形 ABCD 中，A=60， AB=AD，则ABD 是等边三角形， BD=AB=AD=3， A、B 的半径分别为 2 和 1， PE=1，DF=2， PE+PF 的最小值是 3 故答案为：3