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1、2020/9/22,1,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,2020/9/22,2,1 矩阵的初等变换,引例 求解线性方程组,2020/9/22,3,用消元法,2020/9/22,4,2020/9/22,5,令,代入方程组，得解,2020/9/22,6,消元法的三类变换：,（1）对调二个方程的次序；,（2）以非零的数 k 乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的 k 倍,由于三类变换都是可逆的， 因此变换前的方程组与变换后是同解的,2020/9/22,7,定义1：,下面三类变换称为矩阵的初等行变换:,同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”),初等行变换和初等列变换统称初等变换。,2
2、020/9/22,8,三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一 类的初等变换。,2020/9/22,9,若矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与 B 等价，记作 A B .,矩阵的等价关系满足：,反身性 A A ； 对称性 若A B ，则B A ； 传递性 若A B ， B C ，则A C 。,2020/9/22,10,(1)的增广矩阵,线性方程组,2020/9/22,11,2020/9/22,12,行阶梯形,2020/9/22,13,行最简形,令,2020/9/22,14,等价标准形,2020/9/22,15,任一 mn 矩阵 A 都等价于一个如下的矩阵,称为A的等价标准形。,
3、2020/9/22,16,2 初等矩阵,定义2：,由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称 为初等矩阵。,三类初等变换与三类初等方阵相对应,2020/9/22,17,2020/9/22,18,2020/9/22,19,2020/9/22,20,三类初等矩阵：,其中,2020/9/22,21,三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置 矩阵都是同一类的初等矩阵。,2020/9/22,22,定理1：,设 A 为mn 矩阵，则,2020/9/22,23,2020/9/22,24,方阵A可逆的充要条件是A可以表示为 若干个初等矩阵的乘积。,定理2：,证明：,充分性.,必要性.,2020/9/22,25,方
4、阵 A可逆的充要条件是 A E,推论1：,推论2：,mn阵 A与 B等价的充要条件是存在 m阶 可逆阵 P和 n阶可逆阵 Q，使得 PAQ = B,注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。,2020/9/22,26,例.,2020/9/22,27,即,2020/9/22,28,解：,例：,2020/9/22,29,2020/9/22,30,2020/9/22,31,例：,解：,初等行变换,2020/9/22,32,2020/9/22,33,2020/9/22,34,3 矩阵的秩,定义3：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式， 称为 A的
5、一个 k 阶子式。,A的一个2阶子式：,2020/9/22,35,定义4：矩阵 A的 最高阶非零子式的阶数 称为 A的秩，记作 R(A) 。,例4. 求矩阵A 和B 的秩, 其中,2020/9/22,36,2 阶子式,3 阶子式 | A|=0,3 阶子式,4 阶子式都 = 0, R(A) = 2, R(B) = 3,2020/9/22,37,定理 3 若A B, 则 R(A) = R(B) .,事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的 k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。,2020/9/22,38,性质 1. 若A的所有 r 阶子式(如果有)全等于零， 则阶数大于r 的
6、所有子式全等于零。,若A的所有 k 阶子式全等于零, 则 R(A) k,2. 若A有一个 k 阶子式非零, 则 R(A) k,3. 若A为mn矩阵, 则 0 R(A) minm, n,4.,2020/9/22,39,5. R(PAQ) R(A), 其中P, Q为可逆矩阵。,6.,7.,8.,2020/9/22,40,故,2020/9/22,41,注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩 至多减少一。 将 C1看成一个 n 阶矩阵划去了n-r1行, n-r2 列，于是有,2020/9/22,42,3 线性方程组的解,2020/9/22,43,化为行最 简形矩阵,不妨假定,2020/9/22,4
7、4,( # ),2020/9/22,45,(1) 若 ，则 (#)无解。,2020/9/22,46,非齐次性线性方程组解的条件,2020/9/22,47,例10：求解线性方程组,解：,2020/9/22,48,可知方程组无解。,2020/9/22,49,例11：求解线性方程组,解：,2020/9/22,50,2020/9/22,51,得,令,故,2020/9/22,52,2020/9/22,53,齐次性线性方程组解的条件,定理6：齐次线性方程组 有非零解的,充要条件是,2020/9/22,54,例9：求解齐次线性方程组,解：,2020/9/22,55,2020/9/22,56,2020/9/22,57,矩阵方程有解的条件,定理6：矩阵方程,有解的充要条件是,2020/9/22,58,定理9：矩阵方程,有非零解,充要条件是,有非零解的,有非零解,2020/9/22,59,线性代数答疑辅导时间: 每周二 12:20到13:20 地点: (数学系)致远楼102室,
