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1、应用概率统计,主讲教师 叶宏 山东大学数学院,第 五 章,多维 随机变量及其分布,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,5.1 二维
2、随机变量的联合分布,定义 设为随机试验的样本空间，,则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量,1. 联合分布函数,定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对,定义了一个二元,实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即,(记为 ),的概率,实数( x , y ), 事件,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v.,(X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),(X,Y) 落在矩形区域 内的概率可用分布函数表示,联合分布函数的性
3、质,(x, y),固定 x , 对任意的 y1 y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.,要描述二维离散型 r.v.的概率特 性及其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合分布律和边缘分布律,2. 二维离散型 r.v.及其概率分布,联合分布律,设( X ,Y )的所有可能
4、的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布 也简称 概率分布 或 分布律,显然，,x1 xi,( X ,Y ) 的联合分布律,二维离散 r.v.的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,的求法, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,例 箱子里装有4只白球和6只红球，在其中随 机地取两次，每次取一只。考虑两种试验： （1）有放回抽样，（2）不放回抽样。 我们定义随机变量 X，Y 如下，写出X和Y的联 合分布律。,（1）有放回抽样,Y,X,（2）不放回抽样,Y,X,3. 二维连续型随机变量,定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y),若存
5、在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x , y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.,联合密度的性质,(3) 在 的连续点处,(4) 若G 是平面上的区域，则,例 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,例 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,常用连续型二维随机变量分布,G 是平面上的有界区域, 面积为 A,若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布,则 G1 G, 设G1的面积为A1,若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布,P99.4,若r.v.( X ,Y ) 的联合d.f.为,则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),其中1,20, -1 1 .,
