《函数定义域,值域求法以及分段函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数定义域,值域求法以及分段函数（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.（一）函数的概念1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数（ function ）记作：y=f(x)， x A其中， x 叫做自变量 ，x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域（ domain ）；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的 值域（ range）注意：1 “ y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2函数符号“ y=f(x)”中的
2、f(x) 表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x2 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示4一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：AB为从集合 A 到集合 B 的一个 映射（ mapping ）记作“ f： AB”说明：（ 1）这两个集合有先后顺序， A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不
3、同的其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述（ 2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。1 例题分析：下列哪些对应是从集合A 到集合 B 的映射？（ 1） A=P | P 是数轴上的点 ， B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（ 2） A= P | P 是平面直角体系中的点， B=（ x， y）| x R， yR，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（ 3） A=三角形 ， B=x | x 是圆 ，对应关系 f：每一个三角形都对应它的内切圆；（ 4） A=x | x 是新华中学的班级 ， B=x | x 是新
4、华中学的学生 ，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生思考：将（ 3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA 是从集合B 到集合 A 的映射吗？（三） 函数的表示法常用的函数表示法： （ 1）解析法；（ 2）图象法；（ 3）列表法三、典例解析.1、定义域问题例 1 求下列函数的定义域： f ( x)1； f ( x)3x2 ；f ( x)x 11x2x21解： x-2=0，即 x=2 时，分式无意义，1x2而 x 2 时，分式有意义，这个函数的定义域是x | x2.x2 3x+20，即 x- 2 时，根式3x
5、2 无意义，32而 3x 20 ，即 x2 才有意义，时，根式 3x32这个函数的定义域是 x |x.31当 x1 0且2x 0 ，即 x1 且 x2 时，根式x1 和分式同时有2x意义，这个函数的定义域是 x |x1 且 x2另解：要使函数有意义，必须：x10x12x0x2例 2 求下列函数的定义域： f ( x)4 x21 f (x)11111x yx2133 3x 7解：要使函数有意义，必须：x23x4 f ( x)x12( x1) 0 f ( x)xx4x21即：3x3函数 f ( x)4x21 的定义域为：3,3 要使函数有意义，必须：x 23x 4 0x 4或 x1x12 0x3且
6、 x1x 3或 3x1或x4定义域为： x| x3或 3x1或x4.x01x0要使函数有意义，必须：10x1xx1110211x函数的定义域为： x | x1R且x 0, 1,2要使函数有意义，必须：x10x1xx0x0定义域为：x | x 1或 1x0x230xR要使函数有意义，必须：x73x70377定义域为： x | x7即 x333例 3若函数 yax 2ax1的定义域是 R，求实数 a 的取值范围a解：定义域是R, ax 2ax10恒成立，aa0 等价于2100a2a4aa例 4若函数 yf (x) 的定义域为 1， 1，求函数 y1)1f (xf ( x ) 的定义域44解：要使函
7、数有意义，必须：1x115x333444x1x113x544444函数 yf ( x1 )f (x1) 的定义域为：x |3x34444例 5 已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(2x1)的定义域。分析：法则 f 要求自变量在 1，1内取值，则法则作用在 2x1 上必也要求 2x1 在 1，1内取值，即 12x11,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考 f(2x1)中 2x 1 与 f(x)中的 x 位置相同，范围也应一样， 12x11,解出 x 的取值范围就.是复合函数的定义域。（注意： f(x)中的 x 与 f(2x1)中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。）解：f(x)的定义域为 1，1，12x11，解之 0x1，f(2x1)的定义域为 0，1。例 6 已知已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(x 2)的定义域。答案： 1x21x211x1练习： 设 f ( x) 的定义域是 3， 2，求函数f (x2) 的定义域解：要使函数有意义，必须：3x 22得：1x 22 x 0 0x 220 x 6 4 2 函数 f (x 2) 的定域义为：x | 0x642例 7 已知 f(2x1)的定义域为 0，1，求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R 上的单调递增函数，因此由 2x1， x0
