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1、.函数图像变换与旋转一 .平移变换：1.y=f （ x） y=f(x a)(a0)原图像横向平移a 个单位（左 +右 - ）2.y=f （ x） y=f(x)b(b0)原图像纵向平移b 个单位（上 +下 - ）3. 若将函数 y=f （ x）的图像右移a，上移 b 个单位，得到函数y=f （ x-a ） +b二对称变换：1.y=f （ x） y=f( -x)原图像与新图像关于y 轴对称；对比：若 f= （ -x ） =f （ x）则函数自身的图像关于y 轴对称；2.y=f （ x） y= -f(x)原图像与新图像关于x 轴对称；3.y=f （ x） y= -f(-x)原图像与新图像关于原点对称
2、；对比：若 f （ -x ） =-f （ x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f （ x）y= f -1 （ x）原图像与新图像关于直线y=x 对称；5.y=f （ x）y= f -1 （ -x ）原图像与新图像关于直线y=-x 对称；6.y=f （ x） y=f （ 2a-x ）原图像与新图像关于直线x=a 对称；7.y=f （ x） y=2 b-f（ x）原图像与新图像关于直线y=b 对称；8.y=f （ x） y=2 b-f（ 2a-x ）原图像与新图像关于点（a， b）对称；三翻折变换：1.y=f （ x） y=f(|x|) 的图像在 y 轴右侧（ x0）的部分与y=f （x）的
3、图像相同，在 y轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称；2. y=f （ x） y=|f( x)| 的图像在 x 轴上方部分与 y=f （ x）的图像相同，其他部分图像为y=f （ x）图像下方部分关于x 轴的对称图像；3.y=f （ x） y=f(|x+a|) 变换步骤：法 1: 先平移 |a| 个单位（左 +右 - ）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （ x） y=f( x+a) y=f(|x+a|)法 2: 先保留 y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a| 个单位（左 +右 - ） y=f （ x） y
4、=f(|x|) y=f(|x+a|)四伸缩变换：1. y=f （ x） y=af( x) （a0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变；.2. y=f （ x） y=f(ax)（ a0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五对称性：1. 函数自身对称性之轴对称：（ 1） . 若 f （ x）=f （ 2a-x ）（或 f （ a+x） =f （ a-x ）或 f （ -x ） =f （ 2a+x）则函数自身关于直线 x=a 对称；（ 2） . 若 y=f （x）的图像关于直线对称等价于 f （ a+mx）=f （ b-mx）等价于f （ a+b-mx） =f （mx）；2
5、. 函数自身对称性之中心对称：（ 1） . 若 f （ mx+a） =-f （b-mx ），则函数自身关于点（， 0）对称；（ 2） . 若 f （ mx+a） +f （b-mx） =c，则函数自身关于点（， ）对称；（ 3） . 若 f(a+x)+f(a-x)=2b（或 f （ x） +f(2a-x)=2b或 f （ -x ） +f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b ）对称；3. 不同函数之间的对称性：（ 1） . 函数 y=f （ a+x）， y=f （ b-x ）的图像关于直线对称；推论：函数函数函数特例：函数y=f(a+x)与 f(a-x)的图像关于直线x=0 对称；y=f(x
6、)与 y=f(2a-x)的图像关于直线x=a 对称；y=f(-x)与 y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a 对称；y=f （ a+x）， y=f （ a-x ）的图像关于直线x=0 对称；（ 2） . 函数 y=f （ a+x）， y=-f （ b-x ）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f （ a+x）与 y=-f （ a-x ）关于原点中心对称4. 抽象函数的对称性：（ 1） . 性质一：若函数 y=f(x) 关于直线 x=a 轴对称，则以下三个时式子成立切等价：f(a+x)=f(a-x);f(2a-x)=f(x);f(2a+x)=f(-x)；（ 2）. 性质二：若函数y=f(x
7、)关于点（ a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：.f(a+x)=-f(a-x);f(2a-x)=-f(x);f(2a+x)=-f(-x);易知， y=f （ x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0 时的特例；六周期性；1.f （ x+a）=f （ x）周期： |a|2.f （ x+a）=-f （ x）周期： 2|a|3. f （ x+a）=（或周期： 2|a|4.f （ x+a）=f （ x-a ）周期： 2|a|5.f （ x+a）=-f （ x-a ）周期： 4|a|6. f （ x+a）=（或）周期： 4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x)周期： 6|a|8
8、.若 p0,f(px)=f(px-)周期：七对称性与周期性：1. 若 y=f （x）的图像关于直线 x=a， x=b 对称（ a 不等于 b），则 f （ x）是周期函数，且周期 T=2|a-b|；特例：若 y=f （x）是偶函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=2|a| ；2. 若 y=f （x）关于点（ a， 0），（ b，0）对称，则 f （ x）是周期函数，且周期 T=2|a-b| ；3. 若 y=f （ x）的图像关于直线 x=a，对称中心（ b，0）对称（ a 不等于 b）则 f （x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f （ x）是奇函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=4|a| ；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。（另：内同为周期，内反为对称）.
