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1、精品 料推荐证明如图 24 4 2， ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 与 AC 的中点， AD AE 1 AB AC 2 A A ， ADE ABC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似） ， ADE ABC ， DE1 （相似三角形的对应角相等，对应边成比例），BC2DE BC 且 DE1 BC 2概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线 ，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半例 1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分图 24.4.3已知：如图 24 4 3 所示，在 ABC 中， AD
2、DB ， BE EC， AF FC求证：AE 、 DF 互相平分证明连结 DE 、 EF因为AD DB ， BE EC，所以 DE AC （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）同理 EF AB 所以四边形ADEF 是平行四边形因此 AE 、 DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）例 2如图 2444， ABC 中， D 、E 分别是边 BC 、AB 的中点， AD 、CE 相交于 G求证：GEGD1 CEAD31精品 料推荐图 24.4.4证明连结 ED ， D、 E 分别是边 BC 、AB 的中点，DE AC ， DE1 （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
3、AC2 ACG DEG ，GEGDDE1 ，GCAGAC2GEGD1 CEAD3图 24.4.5拓展如果在图24 4 4 中，取 AC 的中点 F，假设 BF 与 AD 交于 G，如图24.4.5，那么我们同理有 G DG F1 ，所以有GDG D1 ，即两图中的点G 与 G是重合的ADBF3ADAD3于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 1 3由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半已知：如图 24 4 6 所示，在梯形ABCD 中， AD BC ， AE BE ，
4、DF CF求证：EF BC ，EF 1 （AD BC）22精品 料推荐图 24.4.6分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结AF ，并延长AF 交BC 的延长线于 G，证明的关键在于说明 EF 为 ABG 的中位线于是本题就转化为证明 AF GF， AD CG，故只要证明 ADF GCF思考图 24.4.7如图 24 4 7，你可能记得梯形的面积公式为S1(l1l 2 ) h2其中 l1 、 l 2 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1 如图， ABC 中， D、E、F 分别为 BC、AC 、AB 的中
5、点， AD 、BE 、CF 相交于点 O， AB 6， BC 10， AC 8试求出线段 DE 、 OA 、OF 的长度与 EDF 的大小（第 1 题）（第 2 题）2 如图所示的梯形梯子， AA EE，AB BC CD DE ，A B B C CD D E， AA 0 5m，EE 0 8m求 BB 、 CC、 DD 的长3求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形习题 2443精品 料推荐1三角形的周 56cm， 它的三条中位 成的三角形的周 是_cm 2梯形中位 12cm，上、下底的比是 1 3，那么梯形下底与上底之差是多少？3如 ，矩形 ABCD 的 角 AC 、BD 交于点
6、 O，E、 F、 G、H 分 OA 、OC、OB 、OD 的中点求 ：四 形 EGFH 是矩形(第 3 题 )（第 4 ）4 已知： 在四 形 ABCD 中， AD BC， P 是 角 BD 的中点， M 是 DC 的中点， N 是 AB 的中点求 PMN PNM 24.5画相似图形相似与 称、 平移、旋 一 ，也是 形之 的一个基本 ， 可以将一个 形放大或 小，保持形状不 下面介 一种特殊的画相似多 形的方法 在要把多 形 ABCDE 放大到 1 5 倍，即新 与原 的相似比 15我 可以按下列步 画出 24 51：图 24.5.11任取一点 O；2以点 O 端点作射 OA 、 OB、 O
7、C、；3 分 在射 OA 、OB 、OC、上取点 A 、B、C、， 使 OA OA OBOB OC OC 15；4连结 A B、 B C、，得到所要画的多 形A B C D E探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多 形是否相似？你能否用 推理的方法 明其中的理由？图 245 1 中的两个多 形不 相似，而且 点的 相交于一点，像 的相似叫做位似（ homothety ），点 O 叫做位似中心 放 影 ，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系利用位似的方法，可以把一个多 形放大或 小4精品 料推荐要画四边形ABCD 的位似图形， 还可以任取一点O，如图 2452，作直线 OA 、OB、OC
8、、OD，在点 O 的另一侧取点 A 、 B、 C、 D，使OC OD OD 2，也可以得到放大到 2 倍的四边形OA OA OB OB OCA B C D图 24.5.2图 24.5.3实际上，如图 24 5 3 所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3 倍习题 245任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形（1）相似比为1 ；（2） 相似比为 252阅读材料数学与艺术的美妙结合分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分， 而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形 然后以其两
9、腰代替底边 再将六角形的每边三等分， 重复上述的作法如图 1 所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线图 1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去观察图 2 中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形图 25精品 料推荐图 3 是五边形的一幅自相似图形图 4图 3自然界中其实存在很多自相似现象，如图 4 所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等 现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是 20 世纪 70 年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何如图 5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术图 5 24.6 图形与坐标1. 用坐标确定位置图 24.6.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图24 6 1 所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是：（ 1，2）、（ 3，5）、（ 4，6精品 料推荐5）、（ 0，3）目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地请你在图中画出目的地的位置试一试图 24 62 是某乡镇的示意图试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：
