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1、,学 海 无 涯 2016 高考数学解题方法,C r,第 1 计芝麻开门点到成功 计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”，讲的是“以小见 大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点” 的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范 1,(n 1)C r,例题将杨辉三角中的每一个数n 都换成分数n ，就得到一个,如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以 看出,nn,1,11,(n 1)C
2、r(n 1)C xnCr,n1 ，其中,x ,.,令,11,n,a,nC 2(n 1)C 2, 1 1 1 1 3123060,n1,n ，,则 n,lim an ,.,分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破 门呢？我们仍然在“点”上打主意. 1 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 1 的主意.,解 将等式,nn,1,11,(n 1)C r(n 1)C xnCr,n1 与右边的顶点三角形对应（图右），自然有,2,1 1,n,(n 1)Cr,1 1 2,n,(n 1)C x,1 1 1,1,n1,nC r,对此，心算可以
3、得到：n =1，r =0，x=1 对一般情况讲，就是 x = r+1 这就是本题第 1 空的答案. 插语 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行 解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的 顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何,学 海 无 涯 一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出 x = r+1. 1 第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 3 .,1 解 在三角形中先找到了数列首项 3 ，并将和数列, 1 1,3123060,an 1 1,中的各项依次“以点,因此得到 n,2,111 连线
4、”（图右实线），实线所串各数之和就是 an . 这个 an，就等于首项 3 左上角的那个 2 . 因为 2 在向下一 分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是 0. lim an 1,这就是本题第 2 空的答案.,1 点评 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数 3 ，采用的方法是以点串线三角形中 1 的实线，实线上端折线所对的那个数 2 就是问题的答案. 1 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 20 这个数开始，向左下连线（无穷射线），,60 140,所连各数之和（的极限）就是 20 这个数的左上角的那个数 12 .
5、 用等式表示就是 20, 1 12,111 1 1,链接 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有 4 分的小题，而是一个 10 分以上的大题. 有关解答附录如下.,法 1 由,nn,1,11,(n 1)C r(n 1)C r 1,nCran n1 知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.,11,n,a,nC 2(n 1)C 2, 1 1 1 31230,n1n,1,2,234,11,1,1,1,11,n,n,nC 2,3C 24C 25C 2,n , ,(n 1)C(n 1)C1,(n 1)C, ,n1,2,34,2,1,1,1,1,11,n,nC1,nC,4C 25C 2,3C 2,(n
6、 1)C1, ,n1 ,n1, ,1,1,2,n,3C3C(n 1)C,1 1,22 , 1, ,1,1,1,11,n,2C(n 1)C,11,2(n 1)n,1 2,2,法 2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即,学 海 无 涯,4,23,1,1,1,11,n,n1,n,(n 1)C n2,nCn3,3C 04C15C 2,a ,根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一,项,1,n1,n,(n 1)C,1 2,，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，,故,11,n,2(n 1)C n1,an ,，从而,1 2,1, 1,
7、n1 ,nn 2,(n 1)Cn,lim an lim ,法 3 （2）将,x r 1,代入条件式，并变形得,n,11,1,nCr(n 1)C r,n1n,(n 1)C r 1,取 r 1, 令n 2,3, n, 得,3,(2 1)C 22C13C1 212,1 1 1 1,3,12,(3 1)C23C14C1,1 1 1 1,23 ，,34,4,1,1,4C15C1,30(4 1)C 2,1 1,1,11,n1n1n1,nC 2(n 1)C1nC1,1,1,1,n,nC1(n 1)C1,(n 1)C 2,n1n,以上诸式两边分别相加，得,1,2n(n 1),an 1 ,2,1,3,16,说明
8、 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到 “芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练 x2 y2 ,1如图把椭圆 25的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作 x 轴的垂,线交椭圆的上半部分于P1，P2，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则|P1F|+|P2F|+|P7F|= . 2如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1 上的点，且 A1P=CQ，则四棱锥 B1A1PQC1 的体积与多面体 ABCPB1Q 的体 积比值为. 参考解答 1找“点”椭圆的另一个焦点 F2. 连接P1F2 、P
9、2F2 、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10,1 ,学 海 无 涯,如此类推 FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是 70 的一半即 35. 2找“点”动点P、Q 的极限点. 如图所示，令 A1P = CQ = 0. 即动点P 与A1 重合，动点 Q 与C 重合. 则多面体蜕变为四棱锥 CAA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥 C,A1B1C1 .,显然,1 1 1,VC A B C, 1 3 V 棱柱.,1 VC A1B 1C 1 VC AA1B 1B = 2 1 于是奇兵天降答案为 2
10、 . 点评 “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点， 在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是 动词，是“点亮”和“亮点”的合一.,4,第 2 计西瓜开门滚到成功 计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换 碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想， 数形结合思想，划分讨论思想，等价交换思想，特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五
11、种思想 “滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. 典例示范 题 1 对于R 上可导的任意函数f（x），若满足（x1）f （x）0，则必有,A.f（0）f（2） 2f（1） C.f（0）f（2） 2f（1）,B.f（0）f（2）2 f（1） D.f（0）f（2）2f（1）,分析 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是：分类讨论思想. 这点在已条件（x-1）f (x)0 中暗示得极为显目. 其一，对 f(x)有大于、等于和小于 0 三种情况； 其二，对 x-1，也有大于、等于、小于 0 三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.,学 海 无 涯 解一 （i）若 f(x) 0
12、时，则 f(x)为常数：此时选项 B、C 符合条件. （ii）若 f(x)不恒为 0 时. 则 f(x)0 时有 x1，f（x）在 1, 上为增函数；f(x)0 时 x 1. 即 f（x） 在,1 上为减函数. 此时，选项 C、D 符合条件. 综合（i），（ii），本题的正确答案为 C. 插语 考场上多见的错误是选 D. 忽略了 f(x) 0 的可能. 以为（x-1）f(x) 0 中等号成立的条件 只是 x-1=0，其实 x-1=0 与 f(x)=0 的意义是不同的：前者只涉 x 的一个值，即 x=1，而后是对 x 的所有可 取值，有 f(x) 0. 再析 本题f（x）是种抽象函数，或者说是满
13、足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具 体的函数值 f（0），f（1），f（2）. 因此容易使人联想到数学：一般特殊思想. 解二 （i）若 f(x)=0，可设 f（x）=. 选项、符合条件. （ii）f(x)0. 可设 f(x) =（x-1）2又 f(x)=2（x-1）. 满足 (x-1) f(x) =2 (x-1)20，而对f (x)= (x-1)2. 有 f（0）= f（2）=1，f（1）=0 选项 C，D 符合条件. 综合（i），（ii）答案为 C. 4 插语 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ，(x-1) 3
14、 ， 自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. 再析 本题以函数（及导数）为载体. 数学思想“函数方程（不等式）思想”. 贯穿始终，如由f （x）= 0 找最值点x =0，由 f （x）0（ f (1)对应选项 C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f （x） 0. 探索 本题涉及的抽象函数 f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一 个性质：(x-1) f （x）0，并由此可以判定 f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种 性质的具体函 数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数. 变题 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f （x）0 从而有 f (0)+ f
15、(2) 2 f (1)的函数是,1 A. f（x）= (x-1)3B. f（x）= (x-1) 2,5 C. f（x）= (x-1) 3,2006 D. f（x）= (x-1) 2005,5,解析 对 A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对 B，f (0)无意义； 对 C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；,0,学 海 无 涯 答案只能是 D. 对 D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.,2006,1,2006,1,且 f （x）= 2005 (x-1) 2005使得(x-1) f(x) =(x-1)
16、2005 (x-1) 2005 0. 2n 说明 以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f（x）=(x-1) 2m1 ，其中 m，n 都是正 整数，且 nm. 点评 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化， 这是“一般特殊思想”在解题中具体应用. y 题 2 已知实数 x，y 满足等式 4x 9 y 36 ，试求分式 x 5 的最值。 22 分析 “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到. 解一 （函数方程思想运用）, k,y x 5,4x 2 9 y 2 36,令y = k (x-5) 与方程联立, 3, 3 , 2(9k 2 4), 90k 2, f (3) 9(9k 2 4)
