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1、应用数理学院应用数学学科部,高等数学,（第二版）,第11章 无穷级数,常数项级数的概念和性质,常数项级数的审敛法,幂级数,函数展开成幂级数,函数的幂级数展开式的应用,傅立叶(Fourier)级数,为什么要研究无穷级数,是进行数值计算的有效工具.,自然科学和工程技术中,无穷级数是数和函数的一种表现形式.,因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,如谐波分析等.,分析问题,常用无穷,以及,级数来,?,11.1 常数项级数的概念和性质,常数项级数的概念,收敛级数的基本性质,小结,一、常数项级数的概念,定义,一般项,如,无穷级数定义式的含义是什么?,按通常的加法运算一项一项的加
2、下去,没有穷尽，如何计算？,部分和定义,级数收敛与发散定义：,即,存在,(不存在),常数项级数收敛,(发散).,对收敛级数，,为级数(1)的余项或余和.,显然有,当n充分大时,级数的敛散性与它部分和数列是否有极限,是等价的.,称差,误差为,例,而,所以,的部分和.,级数,级数发散.,解,解,(重要),例,讨论等比级数 (几何级数),的收敛性.,发散,发散,级数变为,收敛,发散,综上,讨论级数,的敛散性.,解,例,因为,为公比的等比级数,是以,因,讨论级数,的敛散性.,解,例,因为,为公比的等比级数,是以,故,的部分和分别为,则,于是,证,性质1,设常数,则,有相同的敛散性.,二、收敛级数的基本
3、性质,也不存在极限.,所以,有相同的敛散性.,级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论:,性质2,设有两个级数,证,极限的性质,级数的部分和,收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,结论:,例,都收敛,两个级数,发散.,收敛,发散,均发散,敛散性,不确定.,都发散.,但,收敛.,例,性质3,添加或去掉有限项不影响一个级数,性质4,设级数,收敛,加括号所得,原级数的和.,级数的和一般会改变.,新级数仍收敛于,则对其各项任意,的敛散性.,一个级数加括号后所得新级数发散,事实上,的级数就应该收敛了.,设级数收敛,根据性质4,收敛,发散,一个级数加括号后收敛,性不定.,则原级数发散.,加括后,
4、原级数敛散,证,因为,则,所以,定理,性质5,(级数收敛的必要条件),若级数 收敛, 则, 级数收敛的必要条件, 必要条件不充分.,数发散;,如,调和级数, 可用它求或验证极限为“0”的极限;,级数收敛的必要条件:,但级数是否收敛？,常用来判别级,敛散性.,例,讨论调和级数,解,反设,解,由于,发散,判别级数,的敛散性.,例,用级数收敛的必要条件,判别级数发散.,解,而级数,所以级数,发散.,由性质2知,由性质1知,发散.,因调和级数,发散,为公比的等比级数,是以,收敛.,例,判别级数,敛散性.,常数项级数的基本概念,基本审敛法,3. 按基本性质,则级数收敛,由定义,2.,则级数发散,级数收敛的必要条件,记住等比级数(几何级数),的收敛性,1.,三、小结,，为收敛级数,a为非零常数,试判别级数,的敛散性.,解,因为,收敛,故,从而,故级数,发散.,解,练习,
