《2019年高数第五版34函数单调性与曲线的凹凸性课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高数第五版34函数单调性与曲线的凹凸性课件（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、曲线凹凸的定义与判定,三、曲线的拐点及其求法,四、小结,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,高等数学,定理 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.,一、单调性的判别法,(1)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上单调递增;,(2)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上单调递减.,证,应用拉氏定理,得,若在a,b内 f (x)0,则f ()0,f(x)0,在a,b上单调递增,若在a,b内 f (x)0,则f ()0,f (x)0,在a,b
2、上单调递减,例1 讨论函数y=ex-x-1的单调性,解 定义域D= (-, +),注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,函数在(-,0)单调递减。,函数在(0,)单调递增。,单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:用方程 f (x)=0的根及 f (x)不存在点划分的定义区间，再判断各区间内导数f (x)的符号。,例2 确定函数 f(x)=2x
3、3-9x2+12x-3 的单调区间。,解,单调区间为,当-x1时,(-,1单调递增,当1x2时,(1,2单调递减,当2x 时,(2,单调递增,例3,解,单调区间为,确定函数 的单调区间,例4 当x0时，证明xln(1+x)成立.,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,y=x3, y|x=0=0,但在(-,+ )上单调递增,设f(x)=x-ln(1+x),f(x)在0,+ )连续，且在(0,+ ) 可导, f (x)0,f(x)在0,+ )单调递增，,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,二、曲线凹凸的定义与判定
4、,定义 f(x)在(a,b)内连续,如果任意两点x1,x2恒有,则称f(x)在(a,b)内的图像是凹的;,则称f(x)在(a,b)内的图像是凸的,如果恒有,定理1 f(x)在a,b内连续, 在(a,b)内有一阶和二阶导数,曲线凹凸的判定,(1) 若f (x)0,则f (x)在(a,b)内的图像是凹的,(2) 若f (x)0,则f (x)在(a,b)内的图像是凸的,例4 判断曲线y=x3的凹凸性.,解,(1) x0时,f (x)在(- ,0内的图像是凸的,(2) x0时,则f (x)在0,+ )内的图像是凹的,(0,0)凹凸的分界点.,1.定义 连续曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点,注意:拐点处的
5、切线必在拐点处穿过曲线.,2.拐点的求法,证 f (x) 二阶导数,则f (x )存在且连续,三、曲线的拐点及其求法,定理2 f(x)在(x0-, x0+)内存在二阶导数,则(x0,f(x0)是拐点的必要条件是f (x0 )=0,又f (x0 )=0,则f (x )=f (f (x)在x0两边变号,因此f (x)在x0取得极值,故 f (x0 )=0,方法1:,例5,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例6,解,注意:,例7,解,四、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1, 2.,思考题一,思考题一解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,思考题二,思考题二解答,例,练 习 题一,练习题一答案,练 习 题二,练习题二答案,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,高等数学,
