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1、第二章 粘性流体流动的微分方程,第一节 基本概念 一、研究流体运动的两种观点（方法） 1. 欧拉观点（Euler） 在流体运动空间内的某一固定位置处选择一固定体积的流体微元，来分析研究该微元体的运动状况，进行微分衡算可得到微分方程。 换句话说，在流体所占据的空间中固定某一点(体积固定)，然后分析这点所通过流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。即流体的体积固定，质量是变化的。,第一节 基本概念 一、研究流体运动的两种观点（方法） 2. 拉格朗日的观点（Lagrange） 在流体运动的空间内选择一固定的流体质点 （质量固定）且追随质点运动，观察其特性（如位置、体积等随时间）的变化，来研究整个流动
2、场内流体的运动规律。,第一节 基本概念 二、偏导数、全导数和随体导数(真实导数) 1. 三者定义(以流体密度为例),密度的全导数,第一节 基本概念 二、偏导数、全导数和随体导数(真实导数) 2. 三者的物理意义,第二节 连续性方程 一、连续性方程的推导 研究方法：欧拉观点 理论依据：质量守恒定律 计算依据：输出-输入+累积=0 (*),第二节 连续性方程 一、连续性方程的推导,它适用于稳态或非稳态系统、理想流体或真实流体、可压缩或不可压缩流体，牛顿型或非牛顿型流体。 连续性方程是研究动量、热量和质量传递过程的最基本、最重要的微分方程之一。,写成向量形式：,几种算法符号及意义谢树艺，工程数学矢量
3、分析与场论,哈米尔顿（Hamilton)算子：,第二节 连续性方程,梯度：,散度：,拉普拉斯,旋度,第二节 连续性方程 二、连续性方程的分析和简化,选择单位质量流体研究，其体积为v，按照拉格朗日观点：,式(2-2)与式(2-3)比较得：,第二节 连续性方程 二、连续性方程的分析和简化,进一步简化分析： (1) 若为稳态流动，则,(2) 若为不可压缩流体，则,速度向量的散度，实际表示流体微元在三个轴向的线性形变速率之和。,第二节 连续性方程 三、柱坐标与球坐标系的连续性方程,1. 柱坐标系的连续性方程,2. 球坐标系的连续性方程,一、用应力表示的运动方程 研究方法：拉格朗日观点 理论依据：动量守
4、恒定律即牛顿第二定律 若质量固定，采用随体导数表示的牛顿第二定律为：,第三节 运动方程,流体运动的加速度。,一、用应力表示的运动方程,第三节 运动方程,将上式写成x，y，z方向的分量形式：,一、用应力表示的运动方程 1. 质量力 指作用在所考察流体整体上的外力。若在重力场中，质量力就是重力，故微元体所受质量力在三个方向可表示为：,第三节 运动方程,一、用应力表示的运动方程 2. 表面力（机械力）作用在微元流体诸表面上的外力，它又可分为法向力和切向力（剪应力），记为。一个平面上的表面力可以用三个表面应力分量表示如：xx，xy，xz 第一个下标x 表示垂直于x轴的yz平面（即应力分量的作用面垂直于
5、x 轴）；第二个下标 x(y,z) 表示应力分量的作用,第三节 运动方程,方向；可以看出：具有相同下标的应力分量(xx)表示法向应力分量；拉伸方向（向外）为正，压缩方向（向内）为负。 混合下标的应力分量(xy，xz)表示切向应力分量；,一、用应力表示的运动方程 2. 表面力,第三节 运动方程,六个表面，每一表面力均可分解成三个平行于x、y、z三个坐标轴的应力分量，则：36=18个。在x、y、z方向上各有六个，当微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的，故只需采用9个表面力就可以完全表达。即：3个法向分量，6个切线分量。,一、用应力表示的运动方程 2.
6、 表面力,第三节 运动方程,上述6个剪应力可以使微元体旋转且彼此不独立。如图的四个剪应力对于旋转轴线产生力矩：,当微元体积趋近于0使r趋近于0,力矩质量旋转半径2角加速度,一、用应力表示的运动方程 2. 表面力,第三节 运动方程,因此实质上9个应力只有6个应力为独立变量，即3个法向应力和3个剪应力,如图在x方向的净表面力分量：,一、用应力表示的运动方程 将式(2-11a)和式(2-12)代入式(2-10a)中并整理得：,第三节 运动方程,x方向以应力表示的运动方程 同理可得：,以应力表示的粘性流体运动微分方程,二、应力与形变速率之间的关系 1. 剪应力 每一剪应力与其相应两方向上的形变速率有关
7、。经分析推导其关系为：,第三节 运动方程,二、应力与形变速率之间的关系 2. 法向应力 当流体运动时，法向应力由两部分组成：其一是流体压力，它使流体微元承受压缩而发生体积形变；其二是由流体的粘性引起，它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩进而发生线性形变。各法向应力与形变速率之间的关系：,第三节 运动方程,静压力 使流体产生体积形变,粘性力 使流体在法线方向上拉伸或压缩进而发生线性形变,三、粘性流体的运动方程(N-S方程) 将式(2-14a)、(2-14b)、(2-15a)代入式(2-13a)得：,第三节 运动方程,三、粘性流体的运动方程(N-S方程) 将上三式写成向量形式：,第三节 运动方程
8、,以质量、粘度和流动状况表示的运动微分方程，奈维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程或牛顿型流体的运动方程 讨论：（1）对于稳定或非稳定，可压缩或不可压缩，理想或非理想流体均适用。但需说明该方程仅适用于牛顿型。 （2）各项意义：,惯性力,质量力,压力梯度,粘性力,三、粘性流体的运动方程(N-S方程) 对于不可压缩运动流体的运动方程可简化为：,第三节 运动方程,写成向量形式：,四、以动压头表示的不可压缩NS方程,第三节 运动方程,柱坐标,球坐标,球坐标,Fluent M,混合过程动量传递,流体流动模型,Turbulent flow around the hull of a very large crude oil carrier,连续性方程和运动方程的推导； 方程中各项的意义； 特殊情况下方程的简化； 随体导数； 拉格朗日观点； 动压力和静压力；,本章要点总结,本章作业,教材P48 2；4；6；7。,
