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1、一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。（一）、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转
2、化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想
3、方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题；g、化综合为单一；h、化一般为特殊。有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求
4、值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通
5、过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问
6、题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关系进行研究，从而形成问题解决的一种重要数学思想（以数解形，以形助数）。数是形的抽象概括，形是数的直观体现，把数和形结合起来，从而把隐蔽的问题明朗化、抽象的问题直观化、复杂的问题简单化，化难为易，达到快速、形象、简单易行地解决问题的目的。数形结合思想在数学应用中非常广泛，它比较适合处理那些数量关系与图形位置关系可以互相转化的问题。应用：A利用数轴确定实数的范围；B几何图形与代数恒等式（或不等式）；C数与形相结合在平面直角坐标系中的应用；D利用函数图像解决方程、不等式问题；E数与形相结合在函数中的应用；F构造几何图形解决代数问题例如：在数轴上表示
7、数；用数轴描述有理数的有关概念和运算（相反数、绝对值等概念，比较有理数的大小，利用数轴探究有理数的加法法则、乘法法则等）；在数轴上表示不等式的解集；代数的不等式（组）、方程和方程组，几何的几乎所有内容；函数方面（建立直角坐标系使点与有序实数对之间建立了一一对应关系，从而具备了数形转化的重要工具；从解析式和图像两个方面来研究函数，能更清晰地把握函数的性质；用图像解决代数问题如解不等式、解方程和用代数解决几何问题如通过解析式确定抛物线的对称轴、开口方向等）；运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。数轴上的点与实数的
8、一一对应的关系。平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。函数式与图像之间的关系。线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。（三）、分类讨论思想由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化，常常使同一问题具有多种形态，因而
9、有必要考察全面（所有不同情况），才能把握问题的实质，此时应当进行适当分类，就每一种情形研究讨论结论的真理性（正确性）。是化整为零、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的体现。当被研究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，必须按出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论。在具体的求解过程中，整体问题转化为部分问题后，事实上增加了题设条件。把一个复杂的问题分成若干个相对简单的问题来处理。分类有不同方法，但必须按统一标准分类，且做到不重不漏，“讨论务尽”。分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重
10、复、不遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学生要按不同的情况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，
11、按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。应用：A对问题的题设条件需分类讨论；B对求解过程中不便统一表述的问题进行分类讨论；C从图像中获取信息进行分类讨论；D对图形的位置、类型的分类讨论；E对字母、未知数的取值范围分不同情况讨论。例子:有理数的分类；绝对值的讨论；有理数的加法法则、乘法法则、有理数乘法的符号法则、乘方的符号法则；整式分类；研究平方根、立方根时，把数按正数、0、负数分类；按定义或按大小对实数进行分类；（四）、数学建模思想数学模型指根据所研究的问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言（概念、符号、语言等）表
12、示的一种数学结构（如多项式、方程式、不等式、函数式以及图形等）。数学模型方法，指先根据研究的问题建立数学模型，再通过对数学模型的探索进而达到解题目的的方法。此法多用于解决一些实际问题或较繁琐的数学问题。实际问题数学模型数学模型的解实际问题的解所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方程组的模式，或其他模式。就是找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：数学中的建模思
13、想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。应用：A建立几何模型（合理、正确地画出几何图形）；B建立方程、函数模型解决实际问题；C在解决实际问题（如物体运动规律、销售问题、利润问题、方案设计、几何图形变化问题等）时，先抽象出一次函数或二次函数关系式的数学模型（即建模），再用函数的知识来解决这些实际问题。1.方程思想在解决问题时，通过已知量和未知量的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过立方程（组）去沟通已知和未知的联系的数学思想，就称为方程思想。在
14、求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。求值问题，当未知数不能直接求出时，一般需设出未知数（x），并建立方程，用解方程的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想。分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题的一种思维方式。方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（习惯上用x表示未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，通过解方程或不等式，
15、或利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。例如：立方程（组）解应用题；利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数（字母系数）；二次三项式的因式分解；利用韦达定理解形如韦达定理的二元二次方程组；2.函数思想将所研究的问题纳入某变化过程中加以考查，从中抽象出变量之间特定的函数关系，然后利用函数的性质去解决问题，从而得到实际问题的研究结果，这种研究问题的思维策略就是函数思想。函数思想的实质是用运动变化对应的观点去研究两个变量间的相互依赖关系。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就
16、是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时，通过强调解题的第一步“当时”的依据，渗透函数的思想方法字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量，并把这些量用字母（习惯用x 、y）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运动、变化和对应的观点，通过对函数模型的研究利用函数的性质，使问题获得解决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中，还存在着函数关系，它们多数是用图像表示的。应用：求最大（
