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1、1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出和的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。解：真空中的麦克斯韦方程组为， （1）， （2）， （3） （4）如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分量，即，；，；，；由（1）得： （5）由（2）得： （6）由（3）得： （7）（7）式简化为 （8）所以麦克斯韦方程租的新表示方法为： （9）由引入标势，代入得，上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电荷产生的库仑场。2. 证明在线性各向同性均
2、匀非导电介质中，若，则和可完全由矢势决定。若取，这时满足哪两个方程？解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若，则麦氏方程表示为： （1） （2） （3） （4） 其中，由于（4）式，引入矢势A，使 （5）即可完全由矢势决定。 将（5）代入（1），得：， （6）由此引入标势，使，即 （7）将（7）式代入（3）得： （8）所以，可由决定，进而，也可完全由矢势决定。若取，把（7）式代入（2）式可得若选取洛伦兹规范，因为，则有 若选取库伦规范，则也有 大括号中即为时满足的两个方程。3. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势表示，其中，垂直于z轴方向。证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，则满足洛伦
3、兹规范势的方程为沿z轴方向传播的平面波解为， 与满足洛伦兹条件：。所以，即 因此，只要给定，就可以确定，从而和随之确定。由于， 所以和只与矢势的横向分量（即垂直于的方向）有关，即平面电磁波可由来表示，即， 其中根据题意可记为，其方向与z轴垂直。5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。（1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。（2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。（3）证明和可通过Z用下列公式表出：，。（1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有 （1）将代入（1）得： （2）即：，所以， （3）（2）证明：因为标势在洛伦兹规范下有方程：将代入，得： （4）令，则上式化为 ，
4、即 （5）与方程的推迟解类比，得方程（5）在真空中的推迟解为 （6）（3）将，代入及，得：，8. 一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为。设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场。解：先计算电流。此体系关于原点对称，故电偶极矩为零。体系的磁偶极矩因为电偶极矩为零，磁偶极矩是恒定的量，故辐射场为0。9. 利用电荷守恒定律，验证和的推迟势满足洛伦兹条件。证明：推迟势A与可写作：，其中。对于的函数，有因为所以由于，所以另外，所以由电荷守恒定律，即得和的推迟势满足11. 带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为。求远处的辐射电磁场和辐射能流。解：带电粒子作匀速圆周运动，其磁偶极矩是常矢量，因此不产生磁偶极辐射，但此系统的电偶极矩是一旋转的变化量，我们知道圆偏正可分解为x，y方向上的两个线振荡：由此可得： ， 由直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系可得根据公式 得： 再根据公式 ，得，13. 设有线偏振平面波照射到一个绝缘介质球上（在z方向），引起介质球极化，极化矢量是随时间变化的，因而产生辐射。设平面波的波长远大于球半径，求介质球所产生的辐射场的能流。解：由题设条件，平面波的波长远大于球半径，可以认为整个介质球每一时刻都处于匀强电场中（即与坐标无关），极化矢量在每一时刻都可以看作是均匀的。仿照静电场情形（课本51页均匀外电场介质球的电势）可得故所产生的辐射。第 6 页
