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1、【考纲下载】 1. 了解均值不等式的证明过程 2会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.,第4讲 均值不等式,1若a，bR，则a2b2 2ab.(当且仅当ab时取“”) 2均值不等式：若a，bR，则 .(当且仅当ab时取“”) 3利用均值不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y(0， )，且xyP(定值)，那么当xy时， xy有 (2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有 ,最小值,最大值,提示：利用二元均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三等”的条件，有时为了利用均值不等式求出最值，需要构造和或积的定值,1下列推理过程正确的是() A若a，bR，则 B若x0
2、，则 C若x0，则 D若a，bR且ab0，则,解析：在A中 与 未必均为正，论证错误 B中当x0时，cos x、 也未必为正，论证错误 C中当x0时， 论证错误D中 、 均为负，转化为 、 后均为正，再利用均值 不等式，故选D. 答案：D,已知 (x 0，y0)，则xy的最小值为() A15 B6 C60 D1 解析： 答案：C,2,设0a1,0b1，且ab，下列各式中值最大的是() Aa2b2 Bab C2ab D2 解析：由均值不等式易得a2b22ab，ab2 ， 又0a1,0b1，则a2a，b2b. a2b2ab. ab是四项中最大的一项 答案：B,3,(2009湖南卷)若x0，则x 的
3、最小值为_ 解析：x0，x 2 . 答案：2,4,对于数或式的大小比较，常采用两种方法：一是通常给字母赋予一些特殊值，进行排除或判断，一般适用于选择题或填空题；二是利用均值不等式及常用不等式结合函数的单调性比较,如果0ab1，,【例1】,那么P、Q、M的大小顺序是() APQM BQPM CQMP DMQP 思维点拨：采用特殊值法或利用均值不等式结合对数函数的 单调性比较,解析：解法一：(特殊值法)可设 则 故QPM，选B.,解法二：因为 所以只需比较 的大小，显然 又因为 ，即(因为ab 也就是 PM，选B. 答案：B,利用均值不等式求代数式的最值，关键是合理使用“拆、拼、凑”的技巧，得到满
4、足“正、定、等”三个条件的式子对于含分母的式子，常常采用分离变量的方法，而分离变量常使用平方差公式，这样可以简化运算过程，有时候为了简化分母还可以对分母进行代换,(1)已知x0，y0，lg xlg y1，求 的最小值； (2)求函数y (x1)的最小值 思维点拨：(1)由lg xlg y1知xy为定值，直接利用均值不等式求解； (2)分离变量后，把x1看成一个整体，利用均值不等式求解,【例2】,解：(1)lg xlg y1，xy10. 当且仅当 ，即x2，y5时，等号成立 故 的最小值为2.,(2)因为x1，所以 当且仅当x1 ，即x1时函数取最小值9.,(1)已知x0，y0， 1，求xy的最
5、小值； (2)已知x0，y0， 1， 当且仅当 即x2 ，y 5时取等号， xy的最小值为72 .,变式2：,(2)x3，x30. 当且仅当3x，即x1时取等号 f(x)的最大值为1.,利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须具有“和”式 或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为 “和”式，从而达到放缩的效果必要时，也需要运用“拆、拼、凑” 的技巧，同时应注意多次运用均值不等式时等号能否取到,已知a0，b0，ab1. 求证： 9. 思维点拨：由于不等式左边含字母a，b，右边无字母，直接 使用均值不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对， 因ab1，因此考虑能否把左
6、边展开，实行“1”的代换,【例3】,证明：证法一：因为a0，b0，ab1，所以 同理 所以 52 549. 所以 9(当且仅当ab 时等号成立),证法二： ，因为a，b为正 数，ab1，所以，于是 ， 因此 (当且仅当ab 时等号成立),若将本例题条件改为“a0，b0，c0，且abc1” 求证： 证明：a0，b0，c0，且abc1， 当且仅当abc 时取等号,拓展3：,(2009苏锡常镇一调)如下图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框 架和中间隔档的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度 (不含铝合金部分)的比为12，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽
7、和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部 分的面积为S cm2. (1)试用a，b表示S； (2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？,【例4】,解：(1)铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a0，b0， ab28 800， 又设上栏框内高度为h cm，下栏框内高度为2h cm， 则3h18b，h ， 透光部分的面积S(a18)(a12) (a16)(b18)ab2(9a8b)288 28 8002(9a8b)28829 0882(9a8b),(2)9a8b2 22 880， 当且仅当9a8b时等号成立，此时b a，代入式得，a160， 从而b180， 即当a160，b180时，
8、S取得最大值 铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时， 可使透光部分的面积最大.,【方法规律】 1均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点 2用均值不等式 (a0，b0)求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点，也是近几年高考的一个热点三个必要条件即一正(各项的值为正)二定(各项的和或积为定值)三相等(取等号的条件)更是相关考题瞄准的焦点 在具体的题目中，“正数条件往往易从题设中获得解决”，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常
9、被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧常经过配凑、裂项、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情境因此，“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.,【高考真题】 (2009天津卷)设a0，b0.若 是3a与3b的等比中项， 则 的最小值为() A8 B4 C1 D.,解析：由题意知( )23a3b， ab1.又a0，b0， 的最小值为4. 答案：B,【规范解答】,等比中项、指数幂的运算、指数函数的性质、均值不等式，本题涉及的这几个知识点都是教材中最基本的问题，本题的特点就是把这些问题在一道小题中进行交汇起来考查众多的知识点,1对等比中项的概念理解不清，误以为 3a3b，指数运算错误 2使用均值不等式时遗忘了系数2.,均值不等式是指 (a，b是正实数)，这个不等式中当且仅当ab时等号成立等比中项是指如果a，G，b成等比数列，则G是a，b的等比中项，此时G2ab.,本题可以两次使用均值不等式解决，即由ab12 ，得ab ， 这里前后两次不等式中等号成立的条件相同.,点击此处进入 作业手册,
