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1、考无忧论坛-考霸整理版 高等数学微分和积分数学公式（集锦）高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、 0 0 1 01 1 01 lim0 nn n mm x m a nm b a xa xa nm b xb xb nm = + = + ? ? （系数不为 0 的情况） 二、 重要公式重要公式 （1） 0 sin lim1 x x x = （2）() 1 0 lim 1 x x xe += （3）lim()1 n n a ao = （4）lim1 n n n = （5）limarctan 2 x x = （6）limtan 2 x arcx = limarccot0 x x = （
2、8）lim arccot x x = （7） （9） （10） （11） lim0 x x e = lim x x e + = 0 lim1 x x x + = 下列常用等价无穷小关系下列常用等价无穷小关系（0 x ） 三、 2 1 1 cos 2 xxsin xx arcsin xx tan xx arctan xx ()ln 1xx+ 1 1lna ()11 x ex x axxx + 、导数的四则运算法则导数的四则运算法则 四 ()uvuv = ( )uvu vuv =+ 2 uu vu vv v = 五、基本导数公式基本导数公式 ( )0c = 1 xx = ()sincosxx =
3、(sin)cosx= ( 2 ec tans)=x () 2 xxcotcscxx = ()ansecsectxx = csccotx (csc)xx = x () 1 lnx x = () xx ee = ( ) ln xx aaa = 考无忧论坛-考霸整理版 ( ) 1 log ln x a xa ( =) 2 1 1 arcsin x x () 2 1 arcco = 1 xs x = () 1 2 x x =() 2 1 arctan 1 x x = + () 2 1 arccot 1 x x = + ( )x =1 高阶导数的运算法高阶导数的运算法 1） 六、则则 ( )( ) (
4、) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn u xv xu xv x= （2）( ) ( ) ( ) ( ) n n cu xcux= （ () ( ) ( ) () n nn u axba uaxb+=+ （ ）3 本初等函数的本初等函数的 n 阶导数公式阶导数公式 1） （4）( )( ) ( ) () ( )( ) ( ) 0 n n n kkk n k u xv xc ux vx = = 七、基基 () ( ) ! n n xn= （2）( ) ( )n ax bnax b eae + = (3)( ) ( ) ln n xx aa= （ n a (4)() ( ) sinsin 2
5、 n n axbaaxbn +=+ (5) () ( ) coscos 2 n n axbaaxbn +=+ (6) ( ) () () 1 1! 1 n n n n an axb axb + = + + (7) () ( ) () () () 1 1 ! ln1 n n n n an axb axb += + 八、微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则 ( )0d c = () 1 d xxdx =()sincosdxxd= x x ()cossindxxdx= () 2 tansecdxxd= () 2 cotcscdxxd= x x ()secsectandxxxd= ()cscc
6、sccotdxxxd= x () xx d ee dx= () ln xx d aaadx=() 1 lndxdx x = () 1 log ln x a ddx xa = () 2 1 arcsin 1 dxdx= () 2 1 arccos 1 dx x = x dx () 2 1 arctan 1 dxdx x = + () 2 1 arccot 1 dxdx x = + 九、微分运算法则微分运算法则 ()d uvdudv=()d cucdu= 考无忧论坛-考霸整理版 ()d uvvduudv=+ 2 uvduudv d vv = 十、基本积分公式基本积分公式 kdxkxc=+ 1 x
7、x dx 1 c + ln dx xc x =+ =+ + ln x x a a dxc a =+ xx e dxec=+ cossinxdxxc=+ 2 2 1 sectan cos dxxdxxc x =+ sincosxdxxc= + 2 cot 2 1 csc sin xdxx 2 1 arctan 1 dxxc x =+ + c x = + 2 1 arcsin x 1 dxc x =+ 、下列常用凑微分公下列常用凑微分公 积分型 换元公式 十一式式 uaxb=+ ()() ( 1 )f axb dxf axb d ax a +=+ b+ ()() () 1 1 f xxdxf xd
8、 x = ux= ()() () 1 lnlnlnfxdxfx dx x = lnux= ()() () xxx f ee x dxf e d= e x ue= ()() () 1 ln xxxx f aa dxf a d a a = x ua= ()() ()sincossinsinfxxdxfx d= xsinux= ()() ()cossincoscosfxxdxfx d= x cosux= ()() () 2 tansectantanfxxdxfx d= x tanux= ()() () 2 cotcsccotcotfxxdxfx d= x cotux= ()() () 2 1 arc
9、tanarcnarcn 1 fxdxftax dtax x = + arctanux= ()() () 2 1 arcsinarcsinarcsin 1 fxdxfx d x = x arcsinux= 考无忧论坛-考霸整理版 十二、补充下面几个积分公式补充下面几个积分公式 tanln cosxdxxc= + cotln sinxdxxc=+ secln sectanxdxxxc=+ + cscln csccotxdxxxc=+ 22 11 arctan x dxc axaa =+ + 22 11 ln 2 xa dxc xaaxa =+ + 22 1 arcsin x dxc a ax =+
10、 22 22 1 lndxxxac xa =+ 十三、分部积分法公式分部积分法公式 形如 nax x e dx ，令 n ux=， ax dve dx= sin n xxdx n x，sindvxdx= 令=u形如 cos n xxdx cosdvxdx= 令， n ux=形如 arctan n xxdx 形如，令， 形如 arctanux= n dvx dx= ln n xxdx ，令， 形如，xx均可。 的三角换元公式的三角换元公式 lnux= n dvx dx= xdx令 ax ue=sin ax exdxcos ax e,sin ,cos 十四、第二换元积分法中第二换元积分法中 22
11、ax+ (1) 2 as 2 x inxat=tanxat= (3) 22 xa secxat= (2) 【特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值】 （1） （2）sin00= 1 sin 62 = （3） 3 sin 32 = （4）sin1 2 =） （5）sin0= （2） 3 cos 62 = （1）cos01=（3） 1 cos 32 = （4）cos0 2 =） （5）cos1= （1） （2）tan00= 3 tan 63 = （3）tan3 3 = （4）tan 2 不存在 （5）tan0= 3 cot 33 =（1）cot0不存在 （2）cot3 6 = （3）（4）cot0
12、2 =（5）cot不存 在 考无忧论坛-考霸整理版 十五、三角函数公式三角函数公式 1.两角和公式两角和公式 sin()sincoscossinABABA+=+B sin()sincoscossinABABAB= cos()coscossinsinABABA+=B cos()coscossinsinABABAB=+ tantan tan() 1tantan AB BA AB + += tatan ) n tan( 1tantan AB AB= AB+ cotcot1 cot() cotcot AB AB B cotcot1 cot() A += + cotcot AB AB BA + = .二
13、倍角公式二倍角公式 2 n22sincosAAA=si 2222 cos2cossin12sin2cos1AAAAA= = 2 2ta tan2 n 1tan A A A = 3.半角公式半角公式 1 cos sin 22 AA = 1 cos cos 22 AA+ = 1 cossin tan 21 cos1 cos AAA A 1 cossin cot 21 cos1 co AAA A = + As A + = 4.和差化积公式和差化积公式 sinsin2sincos 22 abab ab + += sinsin2cossin 22 abab ab + = coscos2coscos 22
14、 abab ab + += coscos2sinsin 22 abab ab + = ()sin tantan coscos ab ab ab + += 5.积化和差公式积化和差公式 ()() 1 sinsincoscos 2 ababab= + ()() 1 cos coscoscos 2 ababab=+ ()()ab 1 sincossinsin 2 abab=+ ()() 1 cos sinsinsin 2 ababab=+ 考无忧论坛-考霸整理版 6.万能公式万能公式 2 2tan 2 sin 1tan 2 a a a = + 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 a a a 2 2tan 2 tan 1tan 2 a a a = = + 7.平方关系平方关系 22 sincos1xx+= 22 secn1xtax= 22 csccot1xx= .倒数关系倒数关系 8 tancot1xx= seccos1
