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1、1 F E AD CB 初二数学奥林匹克竞赛题及答案 1、如图，梯形 ABCD 中，AD BC ，DE EC ，EFAB交 BC于点 F，EF EC ，连结 DF 。 (1) 试说明梯形 ABCD 是等腰梯形； (2) 若 AD 1，BC 3，DC 2 ，试判断 DCF的形状； (3) 在条件 (2) 下，射线 BC上是否存在一点 P，使PCD是等腰三角形，若存在， 请直接写出 PB的长；若不存在，请说明理由。 2、在边长为 6 的菱形 ABCD 中，动点 M从点 A出发，沿 ABC向终点 C运动， 连接 DM 交 AC于点 N. （1）如图 251，当点 M在 AB边上时，连接 BN . 求
2、证： ABN ADN ； 若 ABC = 60 ，AM = 4，求点 M到 AD的距离； （2）如图 252，若ABC = 90 ，记点 M运动所经过的路程为x（6x12） 试问： x 为何值时， ADN 为等腰三角形 . 3、对于点 O 、M ，点 M沿 MO的方向运动到 O左转弯继续运动到N ，使 OM ON ， 且 OM ON ，这一过程称为 M点关于 O点完成一次“左转弯运动” 正方形 ABCD 和点 P，P点关于 A左转弯运动到 P1，P1关于 B左转弯运动到 P2，P2 关于C左转弯运动到 P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5， , （1）请你在图中用直尺和
3、圆规在图中确定点P1的位置； （2）连接 P1A、P1B，判断 ABP1与ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。 (3) 以 D为原点、直线 AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限， A、 P两点的坐标为（ 0，4） 、 （1，1） ，请你推断： P4 、P 2009 、P 2010三点的坐标 P D C B A O N M 图 1 图 2 2 4、如图 1 和 2，在 2020 的等 距网格（每格的宽和高均是 1 个 单位长）中， RtABC从点 A 与 点 M重合的位置开始，以每秒1 个单位长的速度先向下平移， 当 BC 边与网的底部重合时，继续 同样的速度向右平移，当点C 与点
4、 P 重合时， RtABC停止 移动 . 设运动时间为x 秒， QAC 的面积为 y. （1）如图 1，当 RtABC向下平移到RtA1B1C1的位置时，请你在网格中画出 RtA1B1C1关于直线 QN 成轴对称的图形； （2）如图 2，在 RtABC向下平移的过程中，请你求出y 与 x 的函数关系式， 并说明当x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多 少？ （3）在 RtABC向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时， y 取得最大值和 最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？ 5、如图， ABC中，AB=AC ，B、C 的平分线交于 O点，过 O点作 EF BC
5、交 AB 、AC于 E、F (1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF之间有怎样的关系，并说 明理由 (2) 如图，若AB AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有， 分别指出它们在第 (1) 问中 EF与 BE 、CF间的关系还存在吗 ? (3) 如图，若 ABC中B的平分线 BO与三角形外角平分线CO 交于 O ，过 O点作 OE BC交 AB于 E，交 AC于 F这时图中还有等腰三角形吗?EF与 BE 、CF 关 系 又 如 何 ?说 明 你 的 理 由。 6、已知，如图， ABC中， BAC=90 ，AB=AC,D 为 AC上一点，且 BDC=124 ，延
6、长 BA到点 E，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE于点 F， 求E的度数。 3 7、如图，正方形 ABCD 的对角线 AC,BD交于点 O，将一三角尺的直角顶点放在 点 O处，让其绕点 O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD 的两边交于点 E和 F。 通过观察或测量 OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。 4 1、解： （1）证明： EF=EC ，EFC= ECF ，EF AB ，B=EFC ， B=ECF ，梯形 ABCD 是等腰梯形； （2）DCF是等腰直角三角形，证明： DE=EC ，EF=EC ，EF= 2 1 CD ， CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这
7、条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形） ， 梯形 ABCD 是等腰梯形，CF= 2 1 （BC-AD ）=1，DC= 2， 由勾股定 理得： DF=1 ， DCF是等腰直角三角形； （3）共四种情况： PB=1 ，PB=2 ，PB=3-2，PB=3+2 2、证明： （1）四边形 ABCD 是菱形，AB=AD ，1=2又AN=AN ， ABN ADN 解：作 MH DA交 DA的延长线于点 H 由 AD BC ，得 MAH= ABC=60 在 RtAMH 中， MH=AM?sin60 =4sin60 =2 3点 M到 AD的距离为 2 3 AH=2 DH=6+2=8 （2）解： ABC=90
8、 ，菱形 ABCD 是正方形CAD=45 下面分三种情形：（）若 ND=NA ，则 ADN= NAD=45 此时，点 M恰好与点 B重合，得 x=6； （）若 DN=DA ，则DNA= DAN=45 此时，点 M恰好与点 C重合，得 x=12； （）若 AN=AD=6 ，则 1=2AD BC ，1=4，又 2=3， 3=4CM=CNAC=6 2CM=CN=AC-AN=6 2-6 故 x=12-CM=12- （6 2-6 ）=18-6 2 综上所述：当 x=6 或 12 或 18-6 2 时， ADN 是等腰三角形。 3、解： （1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰； （2）ABP1 ADP ，且
9、 ABP1可看成是由 ADP绕点 A顺时针旋转 90而得 理由如下：在 ABP1 和ADP中， 由题意： AB=AD ，AP=AP1，PAD= P1AB ， ABP1 ADP ， 又 ABP1和ADP有公共顶点 A，且 PAP1=90， ABP1可看成是由 ADP绕点 A顺时针旋转 90而得； （3）点 P（1，1）关于点 A（0，4）左转弯运动到 P1（-3，3） ， 点 P1（-3 ，3）关于点 B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5 ，3） ， 点 P2（-5 ，3）关于点 C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1 ，1） ， 点 P3（-1 ，1）关于点 D（0，0）左转弯运动到点P4（
10、1，1） ， 5 点 P4（1，1）关于点 A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3） ， 点 P5与点 P1重合，点 P6与点 P2重合， ，点 P2009的坐标为（ -3，3） 点 P2010的坐标为（ -5，3） 4、解： （1）如图 1，A2B2C2是A1B1C1关于直线 QN成轴对称的图形； （2）当 ABC 以每秒 1 个单位长的速度向下平移x 秒时（如图 2） ， 则有： MA=x ，MB=x+4 ，MQ=20 ， y=S梯形QMBC-SAMQ-SABC = 2 1 4+20） （x+4）- 2 1 20 x- 2 1 44 =2x+40（0 x16） 由一次函数的性质可知： 当
11、 x=0 时，y 取得最小值，且 y 最小=40， 当 x=16 时，y 取得最大值，且y 最大=216+40=72 ； （3）解法一： 当ABC 继续以每秒 1 个单位长的速度向右平移时， 此时 16x32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x ， y=S梯形BAQP-SCPQ-SABC= 2 1 （4+20） （36-x）- 2 1 20（32-x）- 2 1 44 =-2x+104（16x32） 由一次函数的性质可知： 当 x=32 时，y 取得最小值，且y 最小=-232+104=40 ； 当 x=16 时，y 取得最大值，且y 最大=-216+104=72 解
12、法二： 在ABC 自左向右平移的过程中， QAC 在每一时刻的位置都对应着（2）中 QAC 某一时刻的位置， 使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称 因此，根据轴对称的性质， 只需考查 ABC 在自上至下平移过程中QAC 面积的变化情况， 便可以知道 ABC 在自左向右平移过程中QAC 面积的变化情况 当 x=16 时，y 取得最大值，且y 最大=72， 当 x=32 时，y 取得最小值，且y 最小=40 5、解： （1）图中有 5 个等腰三角形， EF=BE+CF ， BEO CFO ，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得 EF=EO+FO=BE+CF； （2）还有两个等腰三角形，为BEO
13、 、CFO ， 如下图所示： EF BC ， 2=3， 6 又 1=2，1=3， BEO 为等腰三角形，在 CFO 中，同理可证 EF=BE+CF 存在 （3）有等腰三角形： BEO 、CFO ，此时 EF=BE-CF ， 如下图所示： OE BC ， 5=6， 又4=5， 4=6， BEO 是等腰三角形， 在CFO 中，同理可证 CFO是等腰三角形， 此时 EF=BE-CF ， 6、解：在 ABD 和ACE中， AB=AC ，DAB= CAE=90 AD=AE ， ABD ACE （SAS ） ， E=ADB ADB=180 - BDC=180 -124=56， E=56 7、解： OE=OF 证明：正方形 ABCD 的对角线 AC ，BD交于点 O ， OA=OB，OAB= OBE=45 ，AC BD AOF+ FOB= EOB+ FOB=90 ， AOF= EOB 在AOF 和BOE 中 OAB= OBE ，OA=OB，AOF= EOB ， AOF BOE （ASA ） OE=OF
