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1、2016年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1（5分）已知集合A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，xA，则AB=（）A1B4C1，3D1，42（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A4B6C10D173（5分）在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1B2C3D44（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A2B4C6D85（5分）设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知双曲线=1
2、（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=17（5分）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD8（5分）已知函数f（x）=（a0，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A（0，B，C，D，）二、填空题9（5分）已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为10（5分）（x2）8的展开式中x7的系数为（用
3、数字作答）11（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m312（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为13（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a1|）f（），则a的取值范围是14（5分）设抛物线（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为三、计算题15（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（x）c
4、os（x）（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间，上的单调性16（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2（1）求证：EG平面ADF；（2）求二面角OEFC的正弦值；（3）设H为线段
5、AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值18（13分）已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN+，bn是an和an+1的等比中项（1）设cn=bb，nN+，求证：数列cn是等差数列；（2）设a1=d，Tn=（1）kbk2，nN*，求证：19（14分）设椭圆+=1（a）的右焦点为F，右顶点为A已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围20（14分）设函数f（x）=（x1）3axb，xR，其中a，
6、bR（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间0，2上的最大值不小于2016年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）（2016天津）已知集合A=1，2，3，4，B=y|y=3x2，xA，则AB=（）A1B4C1，3D1，4【分析】把A中元素代入y=3x2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x2得：y=1，4，7，10，即B=1，4，7，10，A=1，2，3，4，AB=1
7、，4，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2016天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A4B6C10D17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6故选：B【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域
8、3（5分）（2016天津）在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，则AC=（）A1B2C3D4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答】解：在ABC中，若AB=，BC=3，C=120，AB2=BC2+AC22ACBCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=4（舍去）故选：A【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力4（5分）（2016天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A2B4C6D8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=24=8，n=2，i4，第二次判断不满足条件n3：第三次判断满足条件：S
9、6，此时计算S=86=2，n=3，第四次判断n3不满足条件，第五次判断S6不满足条件，S=4n=4，第六次判断满足条件n3，故输出S=4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键5（5分）（2016天津）设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可【解答】解：an是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”不一定成立，例如：当首项为2，q=时
10、，各项为2，1，此时2+（1）=10，+（）=0；而“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”，则“q0”是“对任意的正整数n，a2n1+a2n0”的必要而不充分条件，故选：C【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键6（5分）（2016天津）已知双曲线=1（b0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，利用四边
11、形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，设A（x，x），则四边形ABCD的面积为2b，2xbx=2b，x=1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，b2=12，双曲线的方程为=1，故选：D【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7（5分）（2016天津）已知ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）ABCD【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代
12、入数量积公式得答案【解答】解：如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，=故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题8（5分）（2016天津）已知函数f（x）=（a0，且a1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A（0，B，C，D，）【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围【解答】解：y=loga（x+1）+1在0，+）递减，则0a1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由
13、图象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且仅有一个解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同样有且仅有一个解，当3a2即a时，联立|x2+（4a3）x+3a|=2x，则=（4a2）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），当13a2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为，故选：C【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题二、填空题9（5分）（2016天津）已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）=a，则的值为2【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案【解答】解：（1+i）（1bi）=1+b+（1b）i=a，a，bR，解得：，=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题10（5分）（2016天津）（x2）8的展开式中x7的系数为56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=x163r，令163r=7，解得r=3（x2）8的展开式中x7的系数为=56故答案为：56【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基
