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1、学 海 无 涯 近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 单位元的唯一性； 逆元的唯一性； （3） (ab)1 b1a1 ,(a1 )1 a ； ab ac b c ； ax b x a1b ； ya b y ba1 。 3、元素的阶 使am e 成立的最小正整数 m 叫做元素a 的阶，记作| a | m ；若这样的正 整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作| a | 。,（1）| a | a1 | ,| a | g 1ag | (g G) 。,若am e ，则 | a | m ； | a | m 由an e可得m | n 。 当群G 是有限群时，
2、a G ，有| a | 且| a | | G | 。,d,（4）| a | n | ar | n ，其中d (r , n) 。,n r 证明 设| ar| | k 。因为(ar )d (a n )d e ，所以k,n d,。,另一方面，因为(ar )k ark e ，所以 n rk ，从而 n d,r k ，又( r , n ) 1， ddd,所以 n k ，故k n 。 dd 注：1 | ab | a | b | ，但若ab ba ，且(| a | , | b |) 1，则有| ab | a | b（|,1,P70.3）。,学 海 无 涯 2 | G | a G , | a | ；但a G
3、, | a | | G | 。 例 1 令G a C | n Z , an 1 ，则G 关于普通乘法作成群。显然，1 是G 的单位元，所以a G ，有| a | ，但| G | 。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合 A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合 A 上的变 换群。 变换群的单位元是 A 的恒等变换。 A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成 A 上最大的变换群。 一般地，变换群不是交换群。 任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合 A 上的一一变换叫做置
4、换，若干置换作成的变换群叫做置 换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例 2 设 (123) , (13)(24) 是S5 中元素，求 。 解 (123)(13)(24) 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (142) 2 31 4 5 3 21 4 51 4 3 2 5 413 2 5 （1） n 元集合 A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作Sn 。 （2）| Sn | n!。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4） (i ii )1 (ii i )。 1 2kk2 1 （5）任一有限群都与一个置换群
5、同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得G (a) an | n Z ，则称G 是循环群。 循环群是交换群（P61.1）。 素数阶群是循环群（P70.1）。 循环群的子群是循环群（P65.4）。 （4）当| G | 时， G Z G , a2 , a1 , e a0 , a , a2 ,；,2,学 海 无 涯,当| G | n 时， G Zn G e a , a , a , 02, an1 。,（5）| G | a | 当| G | 时， G 有且仅有两个生成元a , a1 ； 当| G | n 时，G 有且仅有(n) 个生成元，这里(n) 表示小于n 且与 n 互素的正整数个数。且当
6、(m , n) 1时， am 是G 的生成元。 若G 与G 同态，则 1 G 也是循环群； 2 当(a) a 时， G (a) ； 3 G 的阶整除G 的阶。 例 3（P79、3） 三、子群 1、定义：设 H 是群G 的非空子集，若 H 关于G 的于是也构成群，则称 H 是G 的 子群，记作 H G 。 2、等价条件 群G 的非空子集 H 是子群a , b H ，有ab , a1 H a , b H ，有ab1 H 群G 的非空有限子集 H 是子群a , b H ，有ab H 。 3、运算,（1）若 H1 , H2 G ，则 H1,H2 G （可推广到任意多个情形）。,若 H1 , H2 G
7、，则 H1H2 未必是G 的子群。 若 H1 , H2 G ，则 H1H2 h1h2 | h1 H1 , h2 H2 未必是G 的子群。 若 H1 , H2 G ，则 H1 H2 不是G 的子群。 4、陪集 设 H G ，则G 的子集aH ah | h H叫做 H 的包含a 的左陪集； G 的子,3,学 海 无 涯 集 Ha ha | h H叫做 H 的包含a 的右陪集。 一般地， aH Ha 。 aH bH b1a H ； Ha Hb ab1 H ； aH(Ha) H a H 。 aH (Ha) G a H 。 （4） aH bH (Ha Hb) (aH)(bH) (Ha)(Hb) 。 （5
8、）aH | a G 是G 的一个分类，Ha | a G也是G 的一个分类。即 G aH ，且(aH)(bH) （当aH bH 时） aG 或 G Ha ，且(Ha)(Hb) （当 Ha Hb 时） aG 5、指数： 群G 的子群 H 的左陪集（右陪集）个数叫做 H 的指数，记作G : H。 当| G | 时，有| G | H |G : H。 6、不变子群 设 H 是群G 的子群，若a G ，都有aH Ha ，则称 H 是G 的不变子群， 记作 H G 。 群G 的子群 H 是不变子群a G ，有a1Ha H a G , h H ，有a1ha H 。 例 4（P74、1） 例 5（P74、3）
9、1不变子群的交是不变子群。 2交换群的子群是不变子群。 3群G 的中心C(G) a G | x G , xa ax是G 的不变子群。 4设 H 1 , H 2 G 且有一个是不变子群，则 H1H2 G 。 7、商群 设 H G ，令G H aH | a G， aH , bH G H ，定义,4,学 海 无 涯 (aH)(bH) (ab)H 则它是G H 的代数运算，叫做陪集的乘法。G H 关于陪集的乘法作成群，叫做 G 关于 H 的商群。,| H |,当| G | 时，有| G H | | G | 。,四、群同态 设 是群G 到G 的同态满射，则 1、G 也是群； 2、 (e) e ； 3、(
10、a1 ) (a)1 ； 4、| (a) | | a |； 5、ker a G | (a) e G ；,6、G ker G ( : a ker (a)； 7、 H G (H ) G ； 8、 H G (H ) G ； 9、 H G 1 (H ) G ； 10、 H G 1 (H ) G 。 注：若 H G ，则映射 : a aH (a G) 是G 到G H 的同态满射，叫做自 然同态。 环论部分 一、基本概念 1、环的定义 设 R 是一个非空集合，“”与“。”分别是加法与乘法运算，若 R 关于“”作成交换群（叫做加群）； R 关于“。”封闭； （3） a , b , c R ，有a (b c)
11、(a b) c ；,5,学 海 无 涯 （4） a , b , c R ，有 a (b c) a b a c (b c) a b a c a 则称 R 关于“”与“。”作成环。 2、基本性质 （1） a (b c) a b a c ， (b c) a b a c a ； （2） 0 a a 0 0 ； （3） (a) b a (b) (a b) ； （4） (a) (b) a b ； （5） a (b1 bn ) a b1 a bn , (b1 bn ) a b1 a bn a ； mnm n （6） (ai ) (b j ) ai b j ； i1j 1i1 j 1 a m a n a mn
12、 , (a m )n a mn ； 当 R 是交换环时， a , b R ，有 (a b)n an C 1an1b C n1ab n1 b n 。 nn 3、环的几种基本类型 设 R 是环 交换环： a , b R ，有ab ba 。 例 6（P89.2） 有单位元环：存在1 R ，使得a R ，有1a a1 a 。 无零因子环： a , b R ，当a 0 , b 0 时， ab 0 。 注：无零因子环的特征：无零因子环 R 中的非零元关于加法的阶，叫做 R 的特征。 1 无零因子环 R 的特征，或是或是素数； 2 当无零因子环 R 的元素个数| R | 有限时， R 的特征整除| R |
13、。 整环：有单位元无零因子的交换环。 除环：有单位元1 ( 0) ，且非零元都有逆元。,6,学 海 无 涯 （6）域：交换的除环。 二、两类特殊的环 1、模n 剩余类环： Z n 0 , 1 , 2 , n 。 （1） Z n 是有单位元的交换环，且1是Z n 的单位元； （2） a Z n ，a 0，则a 不是零因子 (a , n) 1； （3） Z n 无零因子 n 是素数； （4） a Z n ，a 0，则a 不是零因子a 是可逆元； （5） Z n 是域 n 是素数。,10,n,10n,2、多项式环： Rx f (x) a xn ,a x a | a , a , a R 。,例 7（P
14、109.2） 三、理想 1、定义：设U 是环 R 的非空子集，若 （1） a , b U ，有a b U ； （2） aU , r R ，有ar , ra U 。 则称U 是环 R 的理想子环，简称理想。 注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。 2 环的中心是子环，但未必是理想。 2、运算 若U1 , U2 是环 R 的理想，则U1U2 也是环 R 的理想（可推广到任意多个 情形）。 若U1 , U2 是环 R 的理想，则U1U2 未必是环 R 的理想。 若U1 , U2 是环 R 的理想，则U1 U2 u1 u2 | u1 U1 , u2 U2 也是环 R 的理想。 若U1 , U2
15、是环 R 的理想，则U1 U2 不是环 R 的理想。 3、生成理想：设 A 环 R 的一个非空子集，则 R 的所有包含 A 的理想的交仍是 R 的,7,学 海 无 涯 理想，这个理想叫做由 A 的理想，记作( A) 。 ( A) 是 R 的包含 A 的最小理想。 当 A a时，记(A) (a) ，叫做由a 生成的主理想。 1 当 R 是交换环时， (a) ra na | r R , nZ；,m,2 当 R 是有单位元环时， (a) x iay i | x i ,y i R； i1,3 当 R 是有单位元的交换环环时， (a) ra | r R 。 （3） A a1 , a2 , an，记( A
16、) (a1 , a2 , an ) 。且有 (a1 , a2 , an ) (a1 ) (a2 ) (an ) 例 8（P113.例 3） 例 9（P114.3） 4、最大理想：设U 是环 R 的理想，且U R 。若包含U 的环 R 的理想，只有U 与 R ，则称U 是环 R 的最大理想（极大理想）。 环 R 的理想U ( R)是最大理想 当 R 的理想 适合U R 时，必有 U 或 R 。 环 R 的理想U ( R)是最大理想 商环 R U 只有平凡理想。 设 R 是有单位元的交换环，则 R 的理想U ( R)是最大理想 商环 R U 是 域。 例 10（P119.1） 已知： R a bi | a , bZ。 求证： R (1 i) 是域。 证明：因为 R 是有单位元的交换环，所以a bi (1 i) ，存在 x yi Z(i) 使
