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1、. . 太阳影子定位技术的研究摘要影子在生活中非常常见，而太阳影子与物体本身、物体所在的地理位置、当地的日期和当天时间都有密切的关系，本文主要研究影长随物体本身的高度（）、物体所在的地理位置（与有关）、当地的日期（与有关）和当天时间（与t有关）的变化规律，从而根据影子变化的相关信息推测出物体所处的位置。首先，我们查找到了包含物体本身的高度、当地时间、季节和地理位置这四个因素的太阳高度角公式： ，然后采用控制变量法分别做出影长随单个因素的变化图像，进而分析影长与各个因素之间的联系。当物体本身的高度、季节、地理位置都已知时，则可以直接作出影子长度随时间的变化关系图。由图可知：2015年10月22日
2、天安门广场3米高的直杆的太阳影子在9:00到15:00之间的变化大致呈对称分布，最小影长为：3.663米、最大影长为：6.616米。其次，考虑到影子顶点的位置随太阳方位角会变化，所以需要考虑太阳方位角（），对问题一的模型进行修正，消去杆长之后，利用附件1中每隔3分钟的影子长度变化差列出方程组，解得附件1的地点可能为：（北纬18度46分2秒,东经111度23分29秒），即附近。然后，我们根据附录二，绘制影长随时间的变化曲线，再对其进行拟合分析，得到当地经度为74度26分。由于纬度和赤纬不随时间变化，所以我们采用最小二乘法进行拟合，最终解得、N=275，即在地区（北纬39度20分，东经74度26分
3、），日期为10月2日。同时对于附录三，采用同样的处理办法，得到、N=325，即在地区（北纬31度27分，东经108度44分），日期为11月23日。最后，以视屏中旗杆所在地为圆心建立坐标系，每隔3分钟对视屏进行截屏，得到一组和附件1类似的杆影的顶点坐标随时间变化的数据，把模型二对附件一的处理方法运用到这组数据中，确定出视频的拍摄位置在境。当拍摄日期未知时，采用模型三处理这组数据，也得到视频的拍摄地点在境。关键词：太阳高度角 太阳方位角 控制变量 最小二乘法拟合 . . . 一问题重述视频数据分析在现代生活非常常见，而确定视频的拍摄地点和拍摄日期更是其重中之重，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物
4、体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。太阳影子的变化与物体本身的高度及所处的地理位置、时间和季节等因素有密切的关系，知道其中的几个因素便可以对物体所处地点进行定位。因而我们需要建立数学模型来确定这些因素之间的关系，对此进行以下几步工作：一、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用所建立的模型画出2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。二、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。并将所建的模型应用于附
5、件1的影子顶点坐标数据，得到若干个可能的地点。三、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。并将所建的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，得到若干个可能的地点与日期。四、建立确定视频拍摄地点的数学模型，附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出了直杆的高度为2米。应用所建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。二 问题分析太阳影子的变化与物体本身的高度、时间、季节和地理位置等因素都有重要关系，因此研究影子的变化规律有重要的意义。针对问题一，我们要查找包含物体本身的高度、当地时间、季节和地理位置的函数表达式，再对影长随单
6、个因素的变化趋势进行分析。当物体本身的高度、季节、地理位置都是已知时，可以直接作出影子长度随时间的变化关系图。针对问题二，在问题一的基础上，考虑到影子顶点的位置随太阳方位角会变化，所以需要对问题一的模型进行修正，由于h和杆高、影长联系在一起的，而附件1中的杆高未知，所以要先把它代入之前的太阳高度角公式消去h, 得到矫正以后的太阳高度角公式，然会利用附件1中每隔3分钟的影子长度变化差，列出方程组，解得当地时间t, 用它和时间的时间差算出它与的经度差，进而算出当地的经度。同时，利用附件1中的影长、日期和当地的时间，可以算出当地的纬度。对于问题三：我们根据附录，绘制影长随时间的变化曲线，再对其进行拟
7、合分析，得到函数关系，根据函数关系，我们预测太阳影长最短时的时间、计算时差，又由于纬度和赤纬不随时间的变化，所以我们采用最小二乘法进行拟合，确定参数和。对于问题四:由于附件4给了一个视频，所以我们先每隔3分钟对视频截屏，以旗杆与地面的交点为圆心建立坐标系，得到影的顶点坐标，把视屏数据转化为类似于附件1的数字数据，再运用模型二对这组数据列方程组，求解出视频的拍摄地点。三模型假设1.假设太阳是固定不动的。2.假设地球离太阳的距离无穷远，太线是平行光。3.假设地球为球体。4.假设地球的运行轨道为圆。5.假设大气层均匀，太线穿过大气层时没有折射。6.不考虑高山遮挡、海拔高度等因素的影响。四符号说明1.
8、：太阳高度角。2.：地球纬度。3.：太阳赤纬。4.：时角。5.：太阳方位角。6.：影长。7.：物体高度。8.T：当地时间。9.x：影子的横坐标。10.y：影子的纵坐标。五 模型的建立与求解5.1建立模型一太阳影子的变化与物体的本身的高度及所处的地理位置、时间和季节等参数有密切的关系。 根据地理学知识，我们知道，物体高度越高，太阳影子越长，物体所处纬度越远离太阳直射点的纬度，太阳影子越长，查阅资料得： （1）其中，表示太阳高度角，表示地理纬度，表示太阳赤纬，表示时角。时角t是以正午十二点为零度开始算，每小时为15度。即十四点和十点分别为30度和-30度。太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连
9、线之间的夹角。因赤纬值日变化很小，一年任何一天的赤纬角可用下式计算： （2） （3）式中N为日数，自每年1月1日开始计算。由于几何关系，太阳高度角与影长有如下关系（4）其中为物高，为影长，联立（1）、（4）可得影长与各个参数的关系，即为最终所建数学模型。（5）5.1.1模型一的求解通过对模型的分析，我们知道太阳影子的变化与物体的本身的高度及所处的地理位置、时间和季节等参数有密切的关系，因此我们采用控制变量法来分别分析影子长度与各个因素之间的关系：(1) 太阳影子和纬度的变化关系： 我们保持物体的本身的高度及时间、季节等参数不变，单独分析太阳影子和纬度之间的变化关系。对此我们作了以下图像：图1太
10、阳影子随纬度变化通过对图1分析可知，对于同一日期，同一时刻，纬度由直射点向北或向南变化时，太阳影子的长度总是越来越长。(2)太阳影子和物高的变化关系我们保持物体所处的纬度及时间、季节等参数不变，单独分析太阳影子和物体高度的变化关系。对此我们作了以下图像： 图2 太阳影长随物高的变化通过图2分析可知，同一日期，同一时刻，同一纬度不同物体的太阳影子与物体的高度成正比。(3)太阳影子长度和季节的变化关系我们保持物体本身高度及所处的纬度和时间不变，单独分析太阳影子和季节的变化关系。太阳影子的变化与物体所处纬度的不同呈不同的规律:a.当纬度大于时，保持物体本身高度及所处的纬度和时间不变，太阳影子长度随日
11、期的变化如下图所示：图3 南北回归线外影长随日期的变化由图知，物体所处纬度大于北回归线度数时，太阳影子长度自1月1日起随日期的增加先减小后增加。b.当纬度介于和之间时，保持物体本身高度及所处的纬度和时间不变，太阳影子长度随日期的变化如下图所示：图4 南北回归线影长随日期的变化由图可知，物体所处纬度小于北回归线度数时，由于太阳直射点的移动，太阳影子长度自1月1日起随日期的增加先减小后增大再减小最后又增大。对于问题一，应用我们所建立的模型，对2015年10月22日9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化进行了如下求解：联
12、立(2)、（3）式可知当N=295，把和 (39.97度)代入(5)得到太阳影长y随地方时t的变化关系：图5 影长在9点到12点的变化规律由图5可知，2015年10月22日天安门广场3米高的直杆的太阳影子在9:00到15:00之间的变化规律为：先减小后增大，呈对称分布，太阳影子长度分别在9：00和15：00点时出现最大值，最大影长约为：6.616米，在12：00左右时出现最小值，最小影长为：3.663米。5.2 建立模型二 经过对模型一的分析，我们知道，太阳影子的长短与太阳高度角有关，而太阳影子的朝向却与太阳方位角有关，因此，我们通过查阅资料，得到太阳方位角有如下公式 (6)其中为太阳方位角图
13、6 太阳方位角示意图又根据图6的几何关系知： (7)其中，x为影子的横坐标。通过联立（1）（6）（7）可得模型二： （8）5.2.1 模型二的求解附件一提供了影子在一段时间的坐标，利用上述模型，根据相同时间间隔影长的增长量得到下列方程组： （9）其中由（7）式给出，由（2）式给出。运用mathematica8.0解方程组（9）得出（单位：弧度），则由公式： （10）得当地时间T=14.368时=14时22分。它与时间的时间差为20分钟，由时差可得该地的经度与的经度相差5度，所以该地的经度为111度23分29秒。联立（1）、（6）式得： （11）将问题二中已知的、值及求解出的值代入（11）式中，
14、解得: =20度46分2秒，综上所述，附件1可能为：（北纬20度46分2秒,东经111度23分29秒），即附近。5.3模型三的建立首先，我们根据附录二，绘制影长随时间的变化曲线，再对其进行拟合分析得到函数关系，预测到当太阳影长最短时的时间，得到当地时间与时间的差值，再根据残差进行修正，得到当地的经度。而纬度和赤纬不随时间的变化，所以我们采用最小二乘法对公式（8）进行拟合，确定参数和，并运用mathematical8.0进行求解，确定的值。5.3.1模型三的求解对附件2进行曲线拟合得到图7：图7 附件2的曲线图由图7得到函数关系：，预测当太阳影子长度最短时时间是15:12，即当地时间与时间的差值为3.2小时，经过修正后，时间差值为2.73小时，即当地经度与经度的差值为40.95，得到当地的经度为74度26分。由最小二乘法对公式（8）进行拟合，最终确定、N=275。即在地区（北纬39度20分，东经74度26分），日期为10月2日。同上，我们对于附录三采同样的
