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1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数 第一节 平面向量的概念及其线性运算,1.向量的有关概念 (1)定义：既有_又有_的量. (2)表示方法：用_来表示向量.有向线段的长度表示 向量的_，用箭头所指的方向表示向量的_.用a,b,或 用 来表示. (3)模：向量的_叫做向量的模，记作|a|,|b|或,大小,方向,有向线段,大小,方向,长度,【即时应用】 (1)请写出高中物理中的三个向量_. (2)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”) 向量的大小是实数 ( ) 向量可以用有向线段表示 ( ) 向量就是有向线段 ( ) 向量 的长度和向量 的长度相等 ( ),【解析】(1)由向量的定义
2、可知，物理中的速度、力、加速度 等都为向量. (2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故 为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的 大小，有向线段的方向为向量的方向，所以为真；为假； 与 是大小相等、方向相反的向量，故为真. 答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一) (2)真 真 假 真,2.特殊向量 (1)零向量：长度为_的向量叫做零向量，记作0；零向量的方 向_. (2)单位向量：长度为_的向量. (3)共线向量：方向相同或_的向量叫做共线向量，共线 向量也叫做_向量；规定：零向量与任何向量共线. (4)相等向量：长度_且方向_的向量. (5)相反向量：长度_且
3、方向_的向量.,0,不确定,1个单位,相反,平行,相等,相同,相等,相反,【即时应用】 (1)判断下列命题的真假：(请在括号中填写“真”或“假”) 若a与b平行，则b与a方向相同或相反 ( ) 若a与b平行同向，且|a|b|,则ab ( ) |a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( ) (2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是_.,【解析】(1)假，当a为零向量时，方向是不确定的. 假，向量不能比较大小. 真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关. (2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆. 答案：(1)假 假 真 (2
4、)圆,3.向量的加法与减法,三角形,平行四边形,b+a,a+(b+c),三角形,【即时应用】 (1)下列命题是否正确(请在括号中填“”或“”) ( ) ( ) ( ) (2)若菱形ABCD的边长为2，则| |=_.,【解析】(1)不正确.因为 正确.因为 正确.因为 (2)| |=| |=| |=2. 答案：(1) (2)2,4.向量的数乘与共线向量定理 (1)向量的数乘 长度|a|=_ 方向 当0时，a的方向与a的方向_； 当0时，a的方向与a的方向_， 当=0时，a=_,其方向是任意的.,|a|,相同,相反,0,(2)向量的数乘的运算律 设,为实数，则( a)=_; (+)a=_(a+b)
5、=_. (3)共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 _.,()a,a+a；,a+b,b=a,【即时应用】 (1)思考：在共线向量定理中，当a=0时，还唯一吗？ 提示：当a=0且b=0时，可以为任意实数，不唯一，当a=0且 b0时，不存在. (2)填空: 8(a+c)+7(a-c)-c=_. ,设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)(e1+ke2)，则实数k 的值为_. 点C在线段AB上，且 【解析】原式=8a+8c+7a-7c-c =15a-0c=15a 原式=,由题意知，k(e1+e2)=(e1+ke2)(k-)e1=(k-k)e2 又e1与e2不共线
6、, 即k=0或1. 答案：15a 0或1 ,热点考向 1 平面向量的有关概念 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 向量有关概念的辨析题多出现在选择题或填空题中，解答时准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别要掌握好相等向量；零向量的长度为0，方向不确定等知识，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.,2.几个重要结论 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关.,【例1】已知下列命题： 单位向量都相等 若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量 两个有共同起点而长度相等的非零向量，它
7、们的终点必相同 由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行 如果a=b,b=c,则a=c 如果|a|=|b|，则a与b的方向相同. 其中不正确的命题是_(请把不正确的命题的序号都填上).,【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确. 【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故不正确；规定0与任意向量平行，故不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以a=c,故正确；不正
8、确. 答案：,【反思感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.,【变式训练】给出下列命题: (1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. (3)a=0(为实数),则必为零. (4),为实数,若a= b，则a与b共线. 其中错误命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选C.(1)错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.(2)正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.(3)错误
9、.当a=0时,不论为何值,a=0.(4)错误.当=0时, a=b,此时a与b可以是任意向量.,热点考向 2 平面向量的线性运算 1.平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则. 2.两个重要结论 (1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则 (2)向量加法的多边形法则,【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.,【例2】(1)如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ),
10、(2)(2013泉州模拟)已知P，A，B，C是平面内四点，且 那么一定有( ),(3)(2013福州模拟)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E， F，G，H，则 =_.,【解题指南】(1)利用平面向量的线性运算并结合图形求解 (2)将向量 分解为以点P为起点的两向量的差，然后化简即可. (3)结合图形，利用平行四边形法则及向量平移即可得出. 【规范解答】(1)选A. 即 (2)选D.由题意得 即,(3)令a= 则由平行四边形法则作出向量 再平移即发现a= 答案：,【变式训练】在ABC中， 若点D满足 则 ( ) 【解析】选A. ,【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，D
11、C 的中点，G为BF、DE的交点，若 试用a,b来表示 .,【解析】 连接BD，因为G是CBD的重心， 所以,热点考向 3 共线向量定理的应用 【方法点睛】 1.共线向量定理及应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线 求参数的值. (2)若a,b不共线，则a+b=0的充要条件是=0,这一结 论结合待定系数法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 则A、B、C三点共线.,【例3】已知a,b不共线， 设 tR，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C，D，E三 点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说 明理由. 【解题指南】先假设存在，再
12、用a,b表示目标向量，最后判断 是否有 成立即可.,【规范解答】由题设知， =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb, C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k， 使得 ，即(t-3)a+t b=-3ka+2kb,整理得 (t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线，所以有 解之得t= . 故存在实数t= 使C，D，E三点在一条直线上.,【反思感悟】1.注意待定系数法在解决此类问题中的重要作用.其中的k只是桥梁，可设而不求. 2.本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.,【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量 =3e1-2e2,
13、 试证明：A、C、D 三点共线. 【证明】 共线， A、C、D三点共线.,【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同， tR，t为何值时，a，tb， (ab)三向量的终点在一条直线 上？,【解析】设 (R)， 化简整理得： a与b不共线， 故t= 时，a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上,1.(2013福州模拟)在平面上有A，B，C三点，设m n 若m与n的长度恰好相等，则有( ) (A)A，B，C三点必在一条直线上 (B)ABC必为等腰三角形且B为顶角 (C)ABC必为直角三角形且B为直角 (D)ABC必为等腰直角三角形,【解析】选C.如图，以 为邻边作平行 四边形AB
14、CD，则 由m，n的长度相等可知，两 对角线相等，因此平行四边形ABCD一定是矩 形选C.,2.(2013南平模拟)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若 的值为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由 得 即 ，所以 故,3.(2012浙江高考)设a,b是两个非零向量( ) (A)若|a+b|=|a|-|b|,则ab (B)若ab,则|a+b|=|a|-|b| (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=a (D)若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】选C.对于A：若|a+b|=|a|-|b|，则a与b共线，且a与b反向，故选项也不对，选项正确,4.(2013晋江模拟)给出下列命题 向量 长度与向量 的长度相等； 两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同； 向量 则A,B,C,D必在一条直线上. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号),【解析】真命题 假命题.起点相同长度相等的两向量方向不一定相同，故不 正确. 假命题 时，直线AB,CD可能平行也可能重合 综上可得，命题为真命题 答案：,
