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1、第二节 参数方程,1.参数方程的概念及与普通方程的互化 (1)参数方程的概念 一般地，在取定的平面直角坐标系xOy中，如果一条曲线L上 _的坐标(x,y)的每个分量都是某个变量t的函数， 即 ，而且对于t的_,由方程组 确定 的点(x,y)在L上，则称方程组 是曲线L的参数方程，联 系x,y之间关系的中介变量t称为参数方程的参变量，简称_.,任意一点,每个允许值,参数,(2)参数方程与普通方程的互化 参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，一般地，可通过消去参数而从参数方程得到普通方程，常用代入、加减等消元方法.熟悉一些常见恒等式，往往能从整体上把握，简化消元过程，如：sin2+cos2
2、=1, 等. 如果知道x，y中的一个与参数t的关系，如x=f(t)，把其代入普通方程，求出另一个与参数t的关系y=g(t)，则 就是曲线的参数方程.,【即时应用】 (1)曲线 (t为参数)的焦点坐标为_； (2)曲线 (t为参数)的普通方程为_.,【解析】(1)消去参数t，得到曲线的普通方程为x2=4y,故焦点F(0，1). (2)求平方差，消去参数t，得到 x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4， 即y2-x2=4(y2). 答案：(1)(0，1) (2)y2-x2=4(y2),2.直线的参数方程 过xOy平面上定点M0(x0,y0)，与x轴正向夹角为的直线L的参 数方程为
3、_. 其中参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离.,0,)，t(-,+)，t是参数,【即时应用】 (1)直线 (t为参数)的倾斜角为_. (2)当参数t=-2时，直线 上的点M与点A(2，-3)之 间的距离为_.,【解析】(1)将直线 的参数方程化为标准形式为 故倾斜角=120. (2)由直线的参数方程的几何意义，得|AM|=|t|=2. 答案:(1)120 (2)2,3.圆锥曲线的参数方程 (1)圆的参数方程 以M0(x0,y0)为圆心，以r0为半径的圆的参数方程为 _. ()椭圆的参数方程 椭圆 =1(ab0)的参数方程为_.,热点考向 1 参数方程与普通方程的互化及应用 【方法
4、点睛】 参数方程与普通方程互化的注意事项 (1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等,(2)把曲线C的普通方程F(x，y)0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性 (3)与圆、椭圆上的点有关的最值问题，常常运用圆、椭圆的参数方程转化为三角函数的性质问题解决.,【例1】(2012福州模拟)已知圆的极坐标方程为 2+4cos(+ )-5=0， (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它 的参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+ 的最大值和最小值
5、. 【解题指南】(1)利用公式 及2=x2+y2将极坐标方程 化为普通方程，转化为参数方程； (2)由圆的参数方程转化为三角函数求最大值和最小值.,【规范解答】(1) ,即 圆的参数方程为 (为参数). (2)由(1)，得 的最大值为8，最小值为-4.,【反思感悟】1.圆与椭圆的参数方程与普通方程互化的依据 是三角函数的基本关系式：sin2+cos2=1. 2.关于圆、椭圆上的点的最值问题，常常运用参数方程转化为 三角函数的辅助角公式求解，即asin+bcos= 其中tan= (a0),且角的终边过点 (a,b).,【变式训练】已知直线C1： (t为参数)， 圆C2： (为参数) (1)当 时
6、，求C1与C2的交点坐标； (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点当变 化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线 【解析】(1)当 时，C1的普通方程为y (x1)，C2的 普通方程为x2y21.,联立方程组 ,解得C1与C2的交点为(1,0)和 ( ) (2)C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程 为： (为参数),P点轨迹的普通方程为 .故P点的轨迹是圆心为 ( ，0)，半径为 的圆,【变式备选】设点P是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，试求x+2y的取值范围. 【解析】由椭圆的方程2x2+
7、3y2=12，可设x= cos,y=2sin, 代入x+2y,得:x+2y= cos+22sin= sin(+), 其中tan= ，又因-1sin(+)1，故- x+2y ， 所以x+2y的取值范围是- , .,热点考向 2 利用参数方程求曲线交点问题 【方法点睛】 直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义 在直线的标准参数方程中，t的几何意义是表示直线上的点到定点的距离，在圆的参数方程中，表示圆心角，在椭圆的参数方程中，表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭圆等曲线的交点问题.,【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为2cos21. (1)求曲线C的普通方程； (
8、2)求直线l被曲线C截得的弦长. 【解题指南】利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，求曲线C的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求直线l被曲线C截得的弦长.,【规范解答】(1)由曲线C：2cos22(cos2sin2) 1，化成普通方程为x2y21. (2)由 得 ，用t代替2t得直线的标准参数 方程 (t为参数). 把代入得 ，整理得t24t60.,设其两根为t1，t2，则t1t24，t1t26. 从而弦长为|t1t2|,【反思感悟】有关直线的参数方程，根据t的几何意义，有以 下结论 设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB |tBtA| ，线段AB的中点
9、所对应的参数值 等于,【变式训练】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，则曲线C的极坐标方程为 ，求直线l 被曲线C所截的弦长.,【解析】将方程 为参数)化为普通方程为 3x4y10. 将方程 化为普通方程为x2y2xy0.表示圆 心为( )，半径为r 的圆，则圆心到直线的距离d ，弦长,热点考向 3 极坐标方程和参数方程的综合问题 【方法点睛】 1.直线的参数方程中参数的几何意义 设e表示直线向上的方向的单位向量, 如图, =t e,当参数t0时, 与e方向相同;当参数t0时, 与 e方向相反,因此,总有| |=|t|,所 以参
10、数t为点M0(x0,y0)到直线上点M(x,y)的有向线段 的数量 (即方向+长度),这就是参数t的几何意义.,2.直线参数方程的常用公式:根据直线的参数方程中t的几何意义,有以下结论 (1)设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则 |AB|=|tB-tA|= (2)线段AB的中点所对应的参数值等于,【例3】(2012新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是=2，正方形 ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的 极坐标为 (1)求点A，B，C，D的直角坐标； (2
11、)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值 范围.,【规范解答】(1)由已知可得 即 (2)设P(2cos,3sin),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2， 则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.,【变式训练】已知曲线C的极坐标方程是=4cos,以极点为平 面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标 系,直线l的参数方程 (t是参数),若与C相交于A、B 两点,且|AB|= (1)求曲线C的直角坐标方程，并求出圆心与半径; (2)求实数m的值.,【解析】(1)曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0， 圆心坐标为(2,0)，半径R=2. (2)直线l的直角坐标方程为y=x-m,则圆心到直线l的距离 所以 ,可得|m-2|=1,解得m=1或m=3.,
