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1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 (1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与 直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判 别式判断位置关系. 0直线与圆_； =0直线与圆_； 0直线与圆_.,相交,相切,相离,(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直 线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系. dr直线与圆_； d=r直线与圆_； dr直线与圆_.,相交,相切,相离,【即时应用】 (1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的_条件. (2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内异于圆心
2、的一点，则直 线x0 x+y0y=r2与此圆的位置关系是_. 【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离 1=r,此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得 ；所以，“k=1”是“直线x-y+k=0 与圆x2+y2=1相交”的充分而不必要条件.,(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内的一点， 所以x02+y02r2，圆心到直线x0 x+y0y=r2的距离 ，所以直线与圆相离. 答案:(1)充分而不必要 (2)相离,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2= (r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2= (r20).,dr1+r2,无解,d=r
3、1+r2,一组实数解,|r1-r2|dr1+r2,一组实数解,无解,两组不同的实数解,d=|r1-r2|,0d|r1-r2|,【即时应用】 (1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示:两圆的方程作差，消去二次项得到关于x、y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程.,(2)判断下列两圆的位置关系 x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是_. x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是_. x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是_.,【解析】因为两圆的方程可化为：(x-1)2+y2=
4、1,x2+(y+2)2=4, 所以，两圆圆心距|O1O2| ；而两圆的半径 之和r1+r2=1+2=3；两圆的半径之差r2-r1=2-1=1； 所以r2-r1|O1O2|r1+r2，即两圆相交；,因为两圆的方程可化为：(x+1)2+(y+2)2=4，(x-2)2+(y-2)2 =9,所以，两圆圆心距|O1O2|= =5；而两圆的 半径之和r1+r2=2+3=5；|O1O2|=r1+r2，即两圆外切； 因为两圆的方程可化为：(x-2)2+(y+1)2=9，(x-2)2+(y-1)2 =1，所以，两圆圆心距|O1O2|= =2；而两圆的 半径之差r1-r2=3-1=2；|O1O2|=r1-r2，即
5、两圆内切. 答案:相交 外切 内切,热点考向 1 直线与圆的位置关系 【方法点睛】 代数法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程；(2)求上述方程的判别式，并判断其符号； (3)得出结论.,2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤 (1)求出圆心到直线的距离d；(2)判断d与半径的大小关系； (3)得出结论.,【提醒】有些题目用以上方法无法解决或解决起来比较困难时，也可考虑直线所过定点与圆心的距离之间的关系.,【例1】(1)(2012陕西高考)已知圆C:x2+y2-4x=0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) (A)l与C相
6、交 (B)l与C相切 (C)l与C相离 (D)以上三个选项均有可能 (2)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为_.,【规范解答】(1)选A.圆C的方程是(x-2)2+y2=4，点P到圆心 C(2,0)的距离d=12，点P在圆C内部，直线l与圆C相交. (2)由题可设直线方程为y=k(x-4)，即：kx-y-4k=0，因为直线 与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径， 即： 解得： 答案：,【互动探究】将本例(2)中条件“经过点A(4，0)的直线l”改为 “在y轴上截距为-2的直线l”，其他条件不变，结论如何？ 【解析】由题可设
7、直线方程为y=kx-2,即：kx-y-2=0，因为直线 与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径， 即： 解得：,【变式备选】已知动直线l：y=kx+5和圆C：(x-1)2+y2=1，试问 k为何值时，直线l与圆C相离、相切、相交. 【解析】因为圆心(1,0)到直线l的距离 当 ,即 时，直线l与圆C相离； 当 ,即 时，直线l与圆C相切； 当 ,即 时，直线l与圆C相交.,热点考向 2 与圆有关的弦长、中点问题 【方法点睛】 直线被圆截得弦长的求法 (1)代数法：直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的 一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|= (2)几何法：设圆的半
8、径为r，弦心距为d，弦长为l，则有：,【例2】已知点P(0,5)及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程； (2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程. 【解题指南】(1)本题求直线方程，因为直线过点P(0,5)，所以只差直线的斜率，因此可利用条件求斜率； (2)设中点的坐标，可利用条件，寻求等式，化简即得轨迹方程.,【规范解答】圆C的标准方程为:(x+2)2+(y-6)2=16, 所以圆心坐标为C(-2，6)，半径r=4. (1)当斜率不存在时，直线方程为x=0，圆心到此直线的距离为 2，此时弦长为 ，符合题意； 当直线l的斜率存
9、在时，设直线方程为y=kx+5， 即kx-y+5=0，又因为圆的半径r=4，弦长为 ,圆心到直线l的 距离为,解得， ，因此直线方程为 x-y+5=0， 即3x-4y+20=0, 综上可知：所求直线方程为x=0或3x-4y+20=0. (2)设弦的中点为M(x,y)，由圆的性质得： (x+2,y-6)(x-0,y-5)=0, 化简得：x2+y2+2x-11y+30=0. 因此，所求轨迹方程为：x2+y2+2x-11y+30=0.,【反思感悟】1.本题第一问是已知弦长及直线过一点求直线方程，因此，还需要一个条件，即只需斜率即可，应分斜率存在与不存在两种情形考虑，该问题易忽略斜率不存在的情况； 2
10、.解答第二问求中点的轨迹方程，其关键是找到一个等式，本题利用圆心与弦的中点的连线垂直于该弦来求解.,【变式训练】1.(2012泉州模拟)已知圆C过点(1，0)，且圆心 在x轴的正半轴上，直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为 ，则 过圆心且与直线l垂直的直线方程为_. 【解析】设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0)，由题意知： ,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴 上，a=3,故圆心坐标为(3，0)，而直线x+y+m=0过圆心 (3，0)，3+0+m=0，即m=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0. 答案:x+y-3=0,2.已知圆C：x2+y2=4,直线l过点P(1，
11、2)，且与圆C交于A，B两 点，若|AB|= ，求直线l的方程. 【解析】(1)若直线l的斜率不存在(直线l与x轴垂直)，则l:x=1， 该直线与圆x2+y2=4相交于两点A(1， )，B(1， )， 满足|AB|= ，符合题意.,(2)若直线l的斜率存在，则设l:y-2=k(x-1), 即kx-y+(2-k)=0, 由于圆的半径为r=2,l截圆所得弦长|AB|= 则由垂径定理可得 ,解得 此时直线l:3x-4y+5=0. 由(1)(2)可知，直线l的方程为x=1或3x-4y+5=0.,【变式备选】直线 截圆x2+y2=4得到的劣弧的弧 长为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选C
12、.因为圆x2+y2=4的圆心坐标为(0，0)，圆心到直线 的距离 ,而圆的半径为2，所以该 直线截圆所得弦长为 ，所以劣弧所对的圆心角为 , 所以劣弧所对的弧长为,热点考向 3 圆与圆的位置关系 【方法点睛】 1.两圆公切线的条数 2.判断两圆位置关系的方法 判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解.,【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、外离与内含.,【例3】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0， 圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，m取何值时 (1)圆C1与圆C2外切； (2)圆C1与圆C2内含. 【解题指南
13、】可先求出两圆的圆心及半径，利用两圆外切、内 含与两圆半径和、半径差之间的关系即可求出m的值或取值范围.,【规范解答】对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得 C1:(x-m)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)当两圆外切时，则有 解得：m=-5或m=2； (2)当两圆内含时，则有 解得：-2m-1.,【反思感悟】 1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解； 2.注意应用圆心距与两圆半径和、半径差的关系时，半径差应为较大半径减去较小半径.,【变式训练】设圆C2经过点A(4,-1)且与圆C1：x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(
14、1,2)，求圆C2的方程. 【解析】由平面几何知识可知：C1、B、C2三点共线，又BC1的 方程为：x+2y-5=0，AB的垂直平分线方程为：x-y-2=0，由 ，得 ，即C2(3,1)； 又|C2A|= ,所以r= ， 圆C2的方程为：(x-3)2+(y-1)2=5.,1.(2013泉州模拟)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且POQ=120(其中O为原点)，则k的值为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.|PQ|= 圆心到直线距离 ,2.(2012宁德模拟)过坐标原点且与圆x2-4x+y2+2=0相切的直 线方程为( ) (A)x+y=0 (B)x+y=
15、0或x-y=0 (C)x-y=0 (D)x+ y=0或x- y=0,【解析】选B.当斜率k不存在时,过原点的直线方程为x=0，因 为圆心(2,0)到此直线的距离2 (圆的半径)，此时不合题 意；当斜率k存在时,过原点的直线方程为kx-y=0，要使该直线 与圆相切，则有 ，解得k=1， 所以，切线方程为x+y=0或x-y=0.,3.(2012江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_,【解析】方法一：设直线上一点(t,kt-2)， 则圆心距满足 对tR有解. 即(1+
16、k2)t2-(4k+8)t+160有解， 所以有(4k+8)2-416(1+k2)0, 方法二：由题意，圆心C到直线的距离不大于2， 答案:,4.(2012泉州模拟)已知以点C(t, )(tR,t0)为圆心的圆 与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，(1)求 证：OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M， N，若OM=ON，求t的值并求出圆C的方程.,【解析】(1)圆C过原点O，OC2=t2+ 设圆C的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 令x=0，得y1=0,y2= ； 令y=0,得x1=0,x2=2t, A、B不与点O重合,A(2t,0),B(0, ), 即OAB的面积为定值.,(2)OM=ON，CM=CN， OC垂直平分线段
