《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第12节《导数在研究函数中的应用》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第12节《导数在研究函数中的应用》（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例,1.利用导数研究函数的单调性,单调递增,常数,单调递减,【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. (2)函数y3x26ln x的单调递增区间为_，单调递减区间为_. 【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增.,(2)y=3x2-6lnx，y6x y=3x2-6lnx的定义域为(0，)， 由y0得x1， 单调递增区间为(1，)； 由y0得0x1. 单调递减区间为(0,1). 答案：(1)单调递增 (2)(1，+) (0，1),2.函数的极值与导数 (
2、1)函数极值的定义,f(c)f(x),f(c)f(x),0,(2)驻点 若f(c)=0,则_叫作函数f(x)的驻点. (3)求函数极值的方法 求导数f(x); 求f(x)的驻点，即求_的根； 检查f(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为_， 右侧附近为_，那么函数y=f(x)在这个驻点处取得极大值；如 果在驻点的左侧附近为_，右侧附近为_，那么函数y=f(x)在 这个驻点处取得极小值.,x=c,f(x)=0,正,负,负,正,【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“”) 导数为零的点一定是极值点 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)
3、是极大值 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极小值 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极大值 ( ),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_. (3)设函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.,【解析】(1)由极值的定义可得，只有正确； (2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；,
4、(3)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值， f(x)=3x2+2ax+a+6的图象与x轴有两个不同的交点， =(2a)2-12(a+6)0， 解得a6. 答案：(1) (2)1 (3)a6,3.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_. (2)将函数y=f(x)的所有极值与_比 较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值.,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),最大,最小,【即时应用】 (1)思考：最值是否一定是极值？ 提示：最值不一定是极值.如果最值在端点处取得就不是极值. (2)函数f(x)=3x-4x3在区
5、间0,1上的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得x= ， f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，f(x)max=1. 答案：1,(3)函数f(x) ex(sinxcosx)在区间0， 上的值域为_. 【解析】f(x) ex(sinxcosx) ex(cosxsinx) excosx，当0 x 时，f(x)0， f(x)是0， 上的增函数. f(x)的最大值为f( ) ， f(x)的最小值为f(0) .故值域为 ， . 答案： ， ,4.三次函数F(x)的单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则F(x)=3ax2+2bx+c.,分类,性质,(-,+)
6、,(-,+),(-,+),(-,+),分类,性质,(u,v),(-,u)、(v,+),(-,u)、(v,+),(u,v),【即时应用】 (1)函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间是_. (2)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_. (3)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是_. (4)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_.,【解析】(1)由已知得f(x)=3x2-6x，令f(x)=3x2-6x=0，解得x=0或x=2，当x0，当02时f(x)0， 所以函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间
7、是(0,2). (2)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立， 即=4-12m0，m . (3)f(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+10，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点.,(4)f(x)=3x2+2ax+b，由题意 , 即 ,得a=4或a=-3. 但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值，a=4，b=-11，f(2)=18. 答案：(1)(0,2) (2) ,+) (3)0 (4)18,5.利用导数研究生活中的优化问题 (1)生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题.
8、(2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：,【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位： 万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234，则使该生产厂家获得 最大年利润的年产量为_. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成 两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是 _.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得 x=9或x=-9(舍去)，当x9时y0； 当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值； 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,(2)设剪成的小正三角形的边长为x， 则：S= = S(x)= S(x)=
9、=,令S(x)=0(0 x1),得x= , 当x(0, )时，S(x)0,S(x)递减； 当x( ,1)时，S(x)0,S(x)递增； 故当x= 时，S取得最小值 . 答案：(1)9万件 (2),热点考向 1 利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性； (2)利用导数求函数的单调区间； (3)已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)求定义域：求出函数y=f(x)的定义域. (2)求根：求导数f(x)=0在定义域内的根. (3)划分区间：用求得的根划分定义域所在的区间. (4)确定符号：确定f(x)在
10、各个区间内的符号. (5)结果：据f(x)的符号得相应区间上的单调性. 【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,【例1】(1)(2013三明模拟)已知函数f(x)=x2+3x-2ln x，则 函数f(x)的单调递减区间为( ) (A) (B) (C)(-,-2) (D) (2)(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x) =x3+bx. 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值; 当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,【解题指南】(1)保证函
11、数有意义的前提下，利用f(x)0求 解. (2)利用交点既在曲线y=f(x)上,也在曲线y=g(x)上，在公切 点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)， 再利用导数求单调区间. 【规范解答】(1)选D.函数f(x)=x2+3x-2ln x的定义域为 (0,+).因为 令 即2x2+3x-2 0，解得 又x0，所以 故函数f(x)的单调递减区间为,(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b， 由已知可得 解得a=b=3.,令F(x)=f(x)+g(x)= F(x)= 令F(x)=0，得 a0,x10得， 由F(x)0得， 单调递增区间是 单调递减区间为,【互动探究】
12、在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x) +g(x)当a0时，在区间(-，-1)上的单调性. 【解析】由本例答案知，当a0时，函数的单调递增区间是 单调递减区间为 当 即0a2时，f(x)+g(x)在(-，-1)上为增函数； 当 即2a6时，f(x)+g(x)在 上单调递 增，在 上单调递减；,当 即a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 综上，当0a2时，f(x)+g(x)在(-,-1)上为增函数; 当2a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减; 当a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上 单调递减，在 上单调递增.,【变式备
13、选】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a, f(x)在(-,+)上单调递增， f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时，f(x)=3x20,且只有f(0)=0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立， 得a3x2在(-1,1)上恒成立. -1x1,3x23,只需a3.
14、当a=3时，f(x)=3(x2-1), 在(-1,1)上，有f(x)0, 即f(x)在(-1，1)上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.,热点考向 2 利用导数研究函数的极值(最值) 【方法点睛】 应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (3)数形结合求参数的范围.利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x),若函数y=f(x) 的图象关于
15、直线x=- 对称，且f(1)=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 【解题指南】y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而 可求a，b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.,【规范解答】(1)f(x)=6x2+2ax+b=6(x+ )2+b- ，函数 y=f(x)的图象关于直线x=- 对称，所以- =- a=3， 又f(1)=06+2a+b=0b=-12； (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12，令 f(x)=0得x1=-2,x2=1； 所以函数f(x)在(-,-2)上递增，在(-2,1)上递减，在(1,+) 上递增，所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21，在x=1 处取得极小值f(1)=-6.,【反思感悟】1.求函数的极值时，一定要注意观察极大值与极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值. 2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便.,3.函数最值的求解策略 (1)根据最值的定义，求在闭区间a,b上连续，开区间(a,b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值.
