《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第7节《幂函数》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第7节《幂函数》（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 幂 函 数,1.幂函数的概念 一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.,y=x,【即时应用】 (1)判断下列函数是否是幂函数(请在括号内填“是”或“否”) y= ( ) y=2x-1 ( ) y=(x-1)2 ( ) y= ( ) (2)已知点M( ,3 )在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达 式为_.,【解析】(2)设f(x)=x(R),则( )=3 , 即 ,得=-3,f(x)=x-3= . 答案：(1)是 否 否 是 (2)f(x)=,2.幂函数的图象 幂函数y=x、y= 、y=x2、y=x-1、y=x3的图象如下：,【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确(请在
2、括号内填“”或“”) 幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0) ( ) 幂函数的图象不可能在第四象限 ( ) n=0时，函数y=xn的图象是一条直线 ( ) 幂函数y=xn，当n0时是增函数 ( ) 幂函数y=xn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而 减小 ( ),(2)图中所示曲线为幂函数y=xn在第一象限的图象，则c1、c2、c3、c4的大小关系是_.,【解析】(2)由幂函数的图象特点知，当自变量x1时，幂指数大的函数值较大，故有c1c2c4c3. 答案：(1) (2)c1c2c4c3,3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性质,R,R,R,0,+),x|x
3、R,且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR,且y0,奇,偶,非奇非偶,奇,奇,x0,+),时,增,x(-,0,时,减,增,增,x(0,+)时,减,x(-,0),时减,(1,1),增,【即时应用】 (1)判断下列函数在(-,0)上是否是单调递减的函数(请在括 号中填“是”或“否”). f(x)=x-2( ) f(x)=x-1( ) f(x)= ( ) f(x)=x3( ) (2)设-1,1, ,3,则使函数y=x的定义域为R且为奇函数 的所有值为_.,【解析】(1)结合各函数的简图可知在(-，0)上单调递减. (2)经验证知1，3符合. 答案：(1)否 是 否 否 (2)1，3,热点考向
4、1 幂函数概念的应用 【方法点睛】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数； (2)底数为自变量x； (3)幂系数必须为1.,2.判定及应用幂函数的方法 (1)要判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足1中的三个特征. (2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式必具有1中的三个特征. 【提醒】区分幂函数与指数函数的关键是自变量的位置在底数上还是在指数上.,【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)： (1)是幂函数； (2)是幂函数，且是(0，+)上的增函数； (3)是正比例函数； (4)是反比例函数； (5)是二次函数.,【解题指南】利用
5、幂函数概念中必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比例函数、反比例函数、二次函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4)(5).,【规范解答】(1)f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. (2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+)上的增函数， 则 ,m=-1. (3)若f(x)是正比例函数， 则-5m-3=1,解得m=- . 此时m2-m-10,故m=- .,(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1, 则m=- ，此时m2-m-10,故m=- . (5)若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-
6、10, 故m=-1.,【反思感悟】幂函数y=x(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1,y=x2-2x等都不是幂函数.,【变式训练】已知f(x)=(m2+2m) ，m为何值时，f(x) 是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数,【解析】(1)若f(x)=(m2+2m) 为正比例函数， 则 ，解之得：m=1； (2)若f(x)=(m2+2m) 为反比例函数，则 ， 解之得：m=1；,(3)若f(x)=(m2+2m) 为二次函数
7、，则 ， 解之得：m= (4)若f(x)=(m2+2m) 为幂函数，则 m2+2m=1，解之得：m=1 .,热点考向 2 幂函数的图象与应用 【方法点睛】 幂函数y=x图象的特征 (1)的正负：0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.,(2)曲线在第一象限的凹凸性：1时，曲线下凸； 01时，曲线上凸；0时，曲线下凸. (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,【例2】若点( ，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2， )在 幂函数g(x)的图象上，定义h(x)= 试求函数
8、h(x)的最大值以及单调区间.,【解题指南】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值,【规范解答】设幂函数为f(x)=x，因为点( ，2)在f(x)的 图象上，所以( )=2，所以=2，即f(x)=x2；又设 g(x)=x，点(2， )在g(x)的图象上，所以(2)= ，所 以=2，即g(x)=x2.,在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：,则有：h(x)= 根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是
9、(，1)和(0，1)，单调递减区间是(1，0)和(1，+).,【反思感悟】解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.,【变式训练】幂函数y= (mZ) 的图象如图所示，则m的值为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解析】选C.y= (mZ)的图象与坐标轴没有交点， m2-4m0，即0m4， 又函数的图象关于y轴对称，且mZ， m2-4m为偶数，因此m=2.,热点考向 3 幂函数的性质与应用 【方法点睛】 1.利用幂函数和指数函数的单调性比较幂值的大小 (1)当幂的底
10、数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；,(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系； (4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.,2.幂函数y=x的性质 (1)定义域、值域及奇偶性,要视的具体值而定. (2)当0时，幂函数在(0，+)上是增函数，当0时，幂函
11、数在(0，+)上是减函数.,【例3】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小. (2)已知幂函数y=x3m-9(mN*)的图象关于y轴对称，且在 (0，+)上函数值随x的增大而减小，求满足 的a的取值范围.,【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，而后两个同底数的幂值利用指数函数y=2x的单调性比较. (2)利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等式，从而求出a的范围.,【规范解答】(1)因为函数y=x0.2在R上为增函数， 且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,
12、又函数y=2x在R上为增函数，且0.21.6, 20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.,(2)函数在(0，+)上递减， 3m-90，m3， mN*，m=1,2. 又函数的图象关于y轴对称， 3m-9为偶数， 当m=1时,3m-9=-6为偶数， 当m=2时,3m-9=-3为奇数， m=1,- =- .,而y= 在(-,0)，(0，+)上均为减函数， 等价于 a+13-2a0或0a+13-2a或 a+103-2a， 解得a-1或 a ， a的取值范围是a|a-1或 a .,【互动探究】若满足本例(2)中条件的幂函数为f(x)，讨论函数g(x)=af(x)6- 的奇偶性(其中a
13、,bR).,【解析】由本例(2)的解析知f(x)= , f(x)6=x-2= , g(x)= -bx3,则g(-x)= +bx3. 当a0,b0时，g(x)为非奇非偶函数； 当a=0,b0时，g(x)为奇函数； 当a0,b=0时，g(x)为偶函数； 当a=0,b=0时，g(x)既是奇函数又是偶函数.,【反思感悟】1.有关幂值的大小比较，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 2.本例(2)集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解答该类问题的关键是弄清幂函数的概念及性质，构建待求参数的方程或不等式并注意对参数的讨论，来求解问题.,【变式备选】1.已知函数f(x
14、)= (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(-)与f(- )的大小.,【解析】(1)f(x)= =1+(x+2)-2,其图象可由 幂函数y=x-2向左平移2个单位，再向 上平移1个单位得到，如图，所以该函 数在(-2，+)上是减函数，在(-,-2)上是增函数.,(2)图象关于直线x=-2对称， 又-2-(-)=-2f(- ).,2.已知幂函数f(x)= (mN*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调 性； (2)若该函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件 f(2a)f(a1)的实数a的取值范围.,【解析】(1)m2+m=m(m+1)(mN*)， 而m与
15、m+1中必有一个为偶数， m2+m为偶数， 函数f(x)= (mN*)的定义域为0，+)，并且该函数 在0，+)上为增函数.,(2)函数还经过点(2， )， = ，即 = ， m2+m=2，解得：m=1或m=2， 又mN*，m=1，f(x)= . 又f(2a)f(a1), ，解得：1af(a1)的实数a的取值范围为 a|1a .,1.(2013厦门模拟)设a=0.64.2,b=0.74.2,c=0.65.1，则a,b,c大小关系正确的是( ) (A)abc (B)bac (C)bca (D)cba 【解析】选B.函数y=x4.2在(0,+)上是增函数, 0.64.20.65.1,0.74.20.64.20.65.1，即bac.,2.(2013福州模拟)若f(x)是幂函数，且满足 则 =( ) (A)3 (B)-3 (C) (D) 【解析】选C.设f(x)=xn,则 ,3.(2012泉州模拟)下列关系式中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) ,【解析】选D.因为函数y= 在(0,+)上为增函数且 ， ,又函数y=( )x在R上为减函数且 , , .,4.(2013莆田模拟)下列判断中正确的序号是_. ,【解析】y=( )x在定义域上为减函数, ,正确； y= 在(0,+)上是增函数, ，正确; 0, 0,不正确;y= 在(0,+)上是减函数, ,不正确. 答案：,
