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1、第三节 等比数列及其前n项和,1.等比数列的定义 (1)条件：一个数列从第二项起_等于 同一个常数. (2)公比：_. (3)定义表达式: .,每一项与它前一项的比,常数，通常用字母q表示(q0),【即时应用】 判断下列数列是否为等比数列(请在括号中填“是”或“否”). (1)数列0,0,0,0,0, ( ) (2)数列1,1,2,4,8,16,32, ( ) (3)数列a,a,a,a,a, ( ) (4)数列1,-1,1,-1,1, ( ),【解析】(1)不是.等比数列中的项不能为0. (2)第二项与第一项的比值不等于常数2,故不是等比数列. (3)当a=0时,不满足等比数列的概念,故不一定
2、是等比数列. (4)是等比数列. 答案:(1)否 (2)否 (3)否 (4)是,2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为 _.,an=a1qn-1(nN*),【即时应用】 (1)等比数列 ,的第11项为_. (2)在等比数列an中，若a3=2,a6=16，则数列的通项公式为 _. 【解析】(1),(2)设等比数列的公比为q，则 解得 答案:(1) (2)an=2n-2,3.等比中项 如果_成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即： G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列_.,a,G,b,G2=ab,【即时应用】 (1)b2=ac是a、b、c成等比数列的_
3、条件. (2)若等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则它的第 5项为_.,【解析】(1)当a=0,b=0,c=1时，满足b2=ac,但a、b、c不成等 比数列,反之，若a、b、c成等比数列，则必有b2=ac,故b2=ac 是a、b、c成等比数列的必要不充分条件. (2)由题意知(a+1)2=(a-1)(a+4), 解得a=5, a1=4,q= , 答案:(1)必要不充分 (2),4.等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_ (2)当公比q1时,Sn= =,na1,【即时应用】 (1)在等比数列an中，a1=2.4,q=-1.5,n=5，则Sn=_. (2)在等比数列
4、an中，a1=8,q= ，an= ，则Sn=_. (3)设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn，则 =_.,【解析】(1) 答案:,热点考向 1 等比数列的基本运算 【方法点睛】 1.等比数列运算的通性通法 等比数列运算问题的一般方法是设出首项和公比，然后根据通项公式或前n项和公式转化为方程组求解. 2.等比数列前n项和公式的应用 在使用等比数列的前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.,【提醒】在运算过程中，应善于运用整体代换的思想简化运算的过程.,【例1】(1)(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列 an的前n项和为Sn.若S2=3a2+
5、2，S4=3a4+2，则q=_. (2)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an 和Sn.,【规范解答】(1)由S2=3a2+2，S4=3a4+2相减可得. a3+a4=3a4-3a2，同除以a2可得 2q2-q-3=0，解得 或q=-1. 因为q0，所以 答案：,(2)设an的公比为q，由题意得 解得 当a1=3,q=2时，an=32n-1,Sn=3(2n-1)； 当a1=2,q=3时，an=23n-1,Sn=3n-1.,【互动探究】本例(2)中,若将“a2=6,6a1+a3=30”改为 “a1+a2=12,a2a4=1”，试求an和Sn. 【解析】设等比数列
6、an的公比为q，由题意知,解得 当a1=9,q= 时,an=9( )n-1=33-n, Sn= (27-33-n). 当a1=16,q= 时,an=16( )n-1 =(-1)n-143-n, Sn= 64-(-1)n43-n.,【变式备选】(1)已知Sn为等比数列an的前n项和，Sn=93， an=48，公比q=2，则项数n=_. (2)已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数 列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解析】(1)由Sn=93，an=48，公比q=2，根据等比数列的前n项 和公式和通项公式可得 答案:5,(2)方法一：设前2个数分别为a，b,则第
7、3、4个数分别为 36-b,37-a，则 ，解得 所以这四个数分别为12,16,20,25或者,方法二：设第2、3个数分别为b,c，则第1个数为2b-c，第4个数 为 ，则 或 所以这四个数分别为12,16,20,25或者,方法三：设第1、3个数分别为a,c，则第2、4个数分别为 ，然后根据题意可知 解得 或者 ,从而解得这四个数分别为 12,16,20,25或者,热点考向 2 等比数列的判定与证明 【方法点睛】 等比数列的判定方法 (1)定义法：若 (q为非零常数,nN*)或 (q为非零 常数且n2,nN*)，则an是等比数列. (2)中项公式法：若数列an中，an0且an+12=an an
8、+2(nN*)，则数列an是等比数列.,(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=cqn(c，q均是不为 0的常数，nN*)，则an是等比数列. (4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数 且k0，q0,1)，则an是等比数列.,【提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.,【例2】设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列. (2)在(1)的条件下证明 是等差数列,并求an. 【解题指南】(1)利用Sn+1=4an+2，寻找bn与bn-
9、1的关系. (2)先求bn，再证明数列 是等差数列，最后求an.,【规范解答】(1)由a1=1,及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, b1=a2-2a1=3. 由Sn+1=4an+2 知当n2时，有Sn=4an-1+2 -得an+1=4an-4an-1， an+1-2an=2(an-2an-1) 又bn=an+1-2an，bn=2bn-1, bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.,(2)由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1, 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. an=(3n-1)2n-2.,【反思感悟】在证明本题时，首先利用转化的思想，把
10、Sn+1=4an+2转化为an+1与an的关系，然后作商 或 ，在作 商时，无论使用 ，还是 ，都要考虑比值中是否包含了 这一项，这是很容易被忽视的地方.,【变式训练】数列an的前n项和为Sn，若an+Sn=n,cn=an-1， 求证:数列cn是等比数列. 【证明】an+Sn=n, a1+S1=1,得 c1=a1-1= 又an+1+Sn+1=n+1,2an+1-an=1,即2(an+1-1)=an-1. 又a1-1= ,即 数列cn是以 为首项，以 为公比的等比数列.,热点考向 3 等比数列的性质及应用 【方法点睛】 等比数列的常见性质 (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),
11、则aman=apaq=ak2； (2)通项公式的推广：an=amqn-m(m,nN*)； (3)若数列an,bn(项数相同)是等比数列，则an, ,an2,anbn, (0)仍然是等比数列；,(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数 列，即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列，公比为qk； (5)若公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n成等比数列，其公比为qn，而当公比为-1时，则Sn, S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.,【例3】(1)已知各项均为正数的等比数列an中, a1a2a3=5,a7a8a9=1
12、0，则a4a5a6=( ) (A) (B)7 (C)6 (D) (2)已知等比数列an满足an0，n=1,2,且a5a2n-5= 22n(n3)，则log2a1+log2a3+log2a2n-1等于( ) (A)n(2n-1) (B)(n+1)2 (C)n2 (D)(n-1)2,【解题指南】(1)利用a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比 数列求解. (2)根据a5a2n-5=an2先求an，再代入求解. 【规范解答】(1)选A.a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等 比数列, (a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50, 又an0, a4a5a6=,(2)选C.
13、a5a2n-5=an2=22n且an0, an=2n, a2n-1=22n-1, log2a2n-1=2n-1, log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+5+(2n-1)=n2.,【反思感悟】1.解答本例(1)时,也可用整体代入的方法求解, 但不如用等比数列的性质简单. 2.利用等比数列的性质解决问题时,一定要注意每一项的下标, 不要犯a2a5=a7的错误.,【变式备选】在等比数列an中，an0,若(2a4+a2+a6)a4=36， 则a3+a5=_. 【解析】an是等比数列,an0, (2a4+a2+a6)a4=2a42+a2a4+a6a4 =a32+a52+2a3a5=(a
14、3+a5)2=36, a3+a5=6. 答案:6,1.(2012新课标全国卷)已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=( ) (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7,【解析】选D.an为等比数列，a5a6=a4a7=-8，联立 解得 或 或q3=-2， 故a1+a10=,2.(2012湖北高考)定义在(-，0)(0，+)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则 称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-，0)(0，+) 上的如下函数： f(x)=x2；f(x)=2x；f(x)= f(x)=ln|x|. 则其中是“保等比数列
15、函数”的f(x)的序号为( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选C. 则对于 可知符合题意;对于: 结果不能保证是定值;对于: 可知也符合题意.此时可知结果.,3.(2013福州模拟)已知等比数列an中，a1=2,且有a4a6=4a72, 则a3=( ) (A) (B)1 (C)2 (D) 【解析】选B.因为an为等比数列，且a4a6=4a72, 所以a52=4a72,即 求得q2= 所以a3=a1q2=2 =1.故选B.,4.(2012辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且a52= a10，2(an+an+2)=5an+1,则数列an的通项公式an=_. 【解析】由于an为等比数列，设其公比q， 由2(an+an+2)=5an+1得2(a1qn-1+a1qn+1)=5a1qn，解得 或q=2. 又由a52=a10(a1q4)2=a1q9a1=q，则a10, 由于等比数列an为递增数列且a10，所以q=2，且a1=2.故an=a1qn-1=2n. 答案：2n,
