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1、1 2011 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分）复数的共轭复数是（） ABCiDi 2 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（） Ay=2x3By=|x|+1 Cy=x2+4 Dy=2|x| 3 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（） A120 B720 C1440D5040 4 （5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小
2、组的可能性相同， 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （） ABCD 5（5 分） 已知角 的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线 y=2x 上，则 cos2=（） ABCD 6 （5 分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视 2 图可以为（） ABCD 7 （5 分）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交 于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（） ABC2D3 8 （5 分）的展开式中各项系数的和为 2， 则该展开式中常数项 为（） A40 B20 C20D40 9
3、 （5 分）由曲线 y=，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为（） AB4CD6 10（5 分） 已知 与 均为单位向量， 其夹角为 ， 有下列四个命题 P1： | + |1 0，） ；P2：| + |1（，；P3：| |10，） ；P4：| |1（，；其中的真命题是（） AP1，P4BP1，P3CP2，P3DP2，P4 11 （5 分）设函数 f（x）=sin（x+）+cos（x+）的最 小正周期为 ，且 f（x）=f（x） ，则（） Af（x）在单调递减 Bf（x）在（，）单调递减 Cf（x）在（0，）单调递增Df（x）在（，）单调递增 12 （5 分）函数 y=的图象与函数 y
4、=2sinx（2x4）的图象所有交点的 横坐标之和等于（） A2B4C6D8 3 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件则 z=x+2y 的最小值为 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1F2在 x 轴上， 离心率为过 Fl的直线交于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方 程为 15 （5 分） 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上， 且 AB=6， BC=2 ，则棱锥 OABCD 的体积为 16 （5 分）在A
5、BC 中，B=60，AC=，则 AB+2BC 的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）等比数列an的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a32=9a2a6， （）求数列an的通项公式； （）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前 n 项和 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60， AB=2AD，PD底面 ABCD （）证明：PABD； （）若 PD=AD，求二面角 APBC 的余弦值 19 （12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质
6、量越 好， 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品， 现用两种新配方 （分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指 标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表 4 指标值分 组 90，94）94，98）98，102） 102，106） 106，110 频数82042228 B 配方的频数分布表 指标值分 组 90，94）94，98）98，102） 102，106） 106，110 频数412423210 （）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y（单位 ： 元）与其质量指
7、标值 t 的关 系式为 y= 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列 及数学期望 （以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率） 20（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A（0， 1） ， B 点在直线 y=3 上， M 点满足，=，M 点的轨迹为曲线 C （）求 C 的方程； （）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）=+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切 线方程为 x+2y3=0 （）求 a、b
8、的值； （）如果当 x0，且 x1 时，f（x）+，求 k 的取值范围 22 （10 分）如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶 点重合 已知AE 的长为 m， AC 的长为n， AD， AB的长是关于x的方程 x214x+mn=0 的两个根 （）证明：C，B，D，E 四点共圆； （）若A=90，且 m=4，n=6，求 C，B，D，E 所在圆的半径 5 23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数）M 是 C1上的动点，P 点满足=2，P 点的轨迹为曲线 C2 （）求 C2的方程； （）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
9、 =与 C1的异 于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB| 24设函数 f（x）=|xa|+3x，其中 a0 （）当 a=1 时，求不等式 f（x）3x+2 的解集 （）若不等式 f（x）0 的解集为x|x1，求 a 的值 6 2011 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） （2011新课标）复数的共轭复数是（） ABCiDi 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复
10、数化简为 a+bi（a，bR） 的形式，然后求出共轭复数，即可 【解答】解：复数=i，它的共轭复数为：i 故选 C 2 （5 分） （2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增 的函数是（） Ay=2x3By=|x|+1 Cy=x2+4 Dy=2|x| 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得 到既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数 【解答】解：对于 Ay=2x3，由 f（x）=2x3=f（x） ，为奇函数，故排除 A； 对于 By=|x|+1，由 f（x）=|x|+1=f（x） ，为偶函数，当 x0 时，y=x+1，是 增函数，故 B 正
11、确； 对于 Cy=x2+4，有 f（x）=f（x） ，是偶函数，但 x0 时为减函数，故排除 C ； 对于 Dy=2|x|，有 f（x）=f（x） ，是偶函数，当 x0 时，y=2x，为减函数， 故排除 D 故选 B 3 （5 分） （2011新课标）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出 的 p 是（） 7 A120 B720 C1440D5040 【分析】执行程序框图，写出每次循环 p，k 的值，当 kN 不成立时输出 p 的值 即可 【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，kN 成立，有 k=2 P=2，kN 成立，有 k=3 P=6，kN 成立，有
12、k=4 P=24，kN 成立，有 k=5 P=120，kN 成立，有 k=6 P=720，kN 不成立，输出 p 的值为 720 故选：B 4 （5 分） （2011新课标）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个 小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组 的概率为（） ABCD 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是 33 种结果，满足条 8 件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果， 根据古典概型概率公式 得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是 33=9 种结果， 满足条件的事件是这两位同学
13、参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有 3 种结果， 根据古典概型概率公式得到 P=， 故选 A 5 （5 分） （2011新课标）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重 合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2=（） ABCD 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到 tan 的 值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出 cos 的平方，然后根据二倍角的 余弦函数公式把所求的式子化简后，把 cos 的平方代入即可求出值 【解答】解：根据题意可知：tan=2， 所以 cos2=， 则 cos2=2cos21=21= 故选：B 6 （5 分） （2011
14、新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应的侧视图可以为（） ABCD 9 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱 锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视 图 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， 侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选 D 7 （5 分） （2011新课标）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称 轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB|为 C 的实轴长的 2 倍， 则 C 的离心率为
15、（） ABC2D3 【分析】不妨设双曲线 C：，焦点 F（c，0） ，由题设知， ，由此能够推导出 C 的离心率 【解答】解：不妨设双曲线 C：， 焦点 F（c，0） ，对称轴 y=0， 由题设知， ， ， b2=2a2， c2a2=2a2， c2=3a2， e= 故选 B 8 （5 分） （2011新课标）的展开式中各项系数的和为 2，则 10 该展开式中常数项为（） A40 B20 C20D40 【分析】给 x 赋值 1 求出各项系数和，列出方程求出 a；将问题转化为二项式的 系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数 【解答】解：令二项式中的 x 为 1 得到展开式的各项
16、系数和为 1+a 1+a=2 a=1 = = 展开式中常数项为的的系数和 展开式的通项为 Tr+1=（1）r25rC5rx52r 令 52r=1 得 r=2；令 52r=1 得 r=3 展开式中常数项为 8C524C53=40 故选 D 9 （5 分） （2011新课标）由曲线 y=，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积 为（） AB4CD6 【分析】 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键， 要确定出曲线 y= ， 直线 y=x2 的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成 本题的求解 【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2） ， 因此曲线 y=，直线 y=x2 及 y 轴所围成的图形的面积为： S=故选 C 11 10 （5 分） （2011新课标）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个 命题 P1： | + |10，） ； P2： | + |1（，； P3： | |1 0，） ；P4：| |1（，；其中的真命题是（） AP1，P4BP1，P3CP2，P3DP2，P4
