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1、普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 1984 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共八道大题， 满分 120 分第九题是附加题， 满分 10 分， 不计入总分） 一（本题满分一（本题满分 15 分） 本题共有分） 本题共有 5 小题， 每小题都给出代号为小题， 每小题都给出代号为 A， B， C， D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在 题后的圆括号内 把正确结论的代号写在 题后的圆括号内每一个小题：选对的得每一个小题：选对的得 3 分分;不选，
2、选错或者选出的 代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得负 不选，选错或者选出的 代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内） ，一律得负 1 分分 1 数集X=（2n+1） ， n是整数与数集Y=（4k 1） ， k是整数之间的关 系是 （ C ） （A）XY （B）XY （C）X=Y （D）XY 2如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点，那么（ C ） （A）F=0，G0，E0. （B）E=0，F=0，G0. （C）G=0，F=0，E0. （D）G=0，E=0，F0. 3.如果 n 是正整数，那么的值 （ B ）) 1() 1(1 8 1 2 n n （A）一定
3、是零 （B）一定是偶数 （C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数 4.大于的充分条件是 （ A ）)arccos( xxarccos （A） （B） 1 , 0(x)0 , 1(x （C） （D） 1 , 0 x 2 , 0 x 5如果是第二象限角，且满足那么,sin1 2 sin 2 cos 2 （A）是第一象限角 （B）是第三象限角 （ B ） （C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 （D）是第二象限角 二 （本题满分 24 分）本题共 6 小题，每一个小题满分 4 分二 （本
4、题满分 24 分）本题共 6 小题，每一个小题满分 4 分只要求 直接写出结果） 只要求 直接写出结果） 1已知圆柱的侧面展开图是边长为2 与4 的矩形，求圆柱的体积 答：. 84 或 2.函数在什么区间上是增函数？)44(log 2 5 . 0 xx 答：x-2. 3求方程的解集 2 1 )cos(sin 2 xx 答：, 12 |, 12 7 |ZnnxxZnnxx 4求的展开式中的常数项 3 )2 | 1 |(| x x 答：-20 5求的值 13 21 lim n n n 答：0 6要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两 个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排
5、法（只要求写出式子，不 必计算） 答：!6 4 7 P 三 （本题满分 12 分）本题只要求画出图形三 （本题满分 12 分）本题只要求画出图形 1设画出函数 y=H(x-1)的图象 , 0, 1 , 0, 0 )( x x xH 当 当 2画出极坐标方程的曲线)0(0) 4 )(2( 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 解： 四 （本题满 分 12 分） 四 （本题满 分 12 分） 已知三个平面 两两相交，有三 条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 证：设三个平面为，且.,abc .,bcbc 从而 c 与 b 或交于一
6、点或互相平行 1若 c 与 b 交于一点，设;,.PccPPbc有且由 aPPbbP于是有又由., 所以 ,b,c 交于一点（即 P 点）a 2.若 cb,则 由 acaccb/,./,可知且又由有 所以 ,b,c 互相平行a 五 （本题满分 14 分）五 （本题满分 14 分） 设 c,d,x 为实数，c0，x 为未知数讨论方程在什么情1log )( x x d cx 况下有解有解时求出它的解 解：原方程有解的充要条件是： 2 4 O 1 2 X 1 Y 1 0 O 1 X P b a c b a c 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级
7、中学 王新敞 (4)( (3), 0 (2), 0 (1), 0 1 x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以再由 c0，可得1)( x d cxx1 2 dcx . 1 2 c d x 又由及 x0，知，即条件（2）包含在条件（1）1)( x d cxx0 x d cx 及（4）中 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的1)( x d cxx . 1 x 等价条件组： (6). 1 x (5)1,x (1), 0 2 c d x 由条件（1） （6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立： . 0 1 c d c0,1-d0,即 c0,d1; c0,1-d0
8、,即 c0,d1. 再由条件（1） （5）及（6）可知dc1 从而，当 c0,d1 且时，或者当 c0,d1 且时，原dc1dc1 方程有解，它的解是 c d x 1 六（本题满分16分）六（本题满分16分） 1设，实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再0p02 2 qpzz 设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的 椭圆的长轴的长（7分） 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 2求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶 2 1 点的轨迹方程（9分） 解：1.因为p,q为
9、实数，z1,z2为虚数，所以0p 0, 04)2( 22 pqqp 由 z1,z2为共轭复数，知 Z1，Z2关于 x 轴对称， 所以椭圆短轴在 x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的 关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|, 焦距离=2c=|z1-z2|=, 2 21 2 21 2|4)( |pqzzzz 长轴长=2a=.22 22 qcb 2.因为椭圆经过点 M（1，2），且以 y 轴为准线，所以椭圆在 y 轴右 侧，长轴平行于 x 轴 设椭圆左顶点为 A（x,y），因为椭圆的离心率为， 2 1
10、所以左顶点 A 到左焦点 F 的距离为 A 到 y 轴的距离的， 2 1 从而左焦点 F 的坐标为), 2 3 (y x 设 d 为点 M 到 y 轴的距离，则 d=1 根据及两点间距离公式，可得 2 1| d MF 1)2(4) 3 2 (9 ,) 2 1 ()2() 1 2 3 ( 22 222 yx y x 即 这就是所求的轨迹方程 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 七（本题满分 15 分）七（本题满分 15 分） 在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 ,b,c，且 c=10，a ，P 为ABC 的内切圆上的动点求
11、点 P 到顶点 A，B，C 的 3 4 cos cos a b B A 距离的平方和的最大值与最小值 解：由，运用正弦定理，有 a b B A cos cos .2sin2sincossincossin, sin sin cos cos BABBAA A B B A 因为 AB，所以 2A=-2B，即 A+B= 2 由此可知ABC 是直角三角形 由 c=10， . 8 , 60, 0, 3 4 222 babacba a b 可得以及 如图，设ABC 的内切圆圆心为 O，切点分别为 D，E，F，则 AD+DB+EC=但上式中 AD+DB=c=10，.12)6810( 2 1 所以内切圆半径 r
12、=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为: (x-2)2+(y-2)2=4 设圆上动点P的坐标为 (x,y),则因为 P 点在内切圆上， 所以 .48876443 764)2()2(3 100121633 )6()8( | 22 22 222222 222 xx xyx yxyx yxyxyx PCPBPAS ，40 x S最大值=88-0=88， S最小值=88-16=72 Y B（0，6） D E O P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 解二：同解一，设内切圆的参数方
13、程为 ),20( sin22 cos22 y x 从而 222 |PCPBPAS cos880)sin22()cos22( )4sin2()cos22()sin22()6cos2( 22 2222 因为，所以20 S最大值=80+8=88， S最小值=80-8=72 八 （本题满分 12 分）八 （本题满分 12 分） 设 2，给定数列xn,其中 x1= ,求证：aa)2 , 1( ) 1(2 2 1 n x x x n n n 1);2 , 1( 1, 2 1 n x x x n n n 且 2);2 , 1( 2 1 2, 3 1 nxa n n 那么如果 3 . 3 , 3 4 lg 3
14、 lg , 3 1 n x a na必有时那么当如果 1证：先证明 xn2(n=1,2,）用数学归纳法 由条件 2 及 x1= 知不等式当 n=1 时成立aa 假设不等式当 n=k(k1)时成立 当 n=k+1 时，因为由条件及归纳假设知 , 0)2(0442 22 1 kkkk xxxx 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从0)2( 2 k x2 1 k x 普通高等学校招生数学试题普通高等学校招生数学试题 新疆奎屯市第一高级中学新疆奎屯市第一高级中学 王新敞 而不等式 xn2 对于所有的正整数 n 成立 (归纳法的第二步也可这样证： 2)22( 2 1 2 1 1 ) 1( 2 1 1 k kk x xx 所以不等式 xn2(n=1,2,）成立） 再证明由条件及 xn2(n=1,2,）知).2 , 1( 1 1 n x x n n 因此不等式也成立, 21 ) 1(2 1 1 n
