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1、1985 年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1（3 分）如果正方体 ABCDABCD的棱长为 a，那么四面体 AABD 的体积是（） ABCD 2（3 分）的（） A 必要条件B 充分条件 C 充分必要条件D 既不充分又不 必要的条件 3（3 分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以 为周期的偶 函数？（） A y=x2（xR） B y=|sinx| （xR） C y=cos2x （xR） D y=esin2x （xR） 4（3 分）极坐标方程 =asin（a0）的图象是（） ABCD 5（3 分）用 1，2，3，4，
2、5 这五个数字，可以组成比 20000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重 复数字的五位数，共有（） A 96 个B 78 个C 72 个D 64 个 二、解答题（共 13 小题，满分 90 分） 6（4 分）求方程解集 7（4 分）设|a|1，求 arccosa+arccos（a）的值 8（4 分）求曲线 y2=16x+64 的焦点 9（4 分）设（3x1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值 10（4 分）设函数 f（x）的定义域是0，1，求函数 f（x2）的定义域 11（7 分）解方程 log4（3x）+l
3、og0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1） 12（7 分）解不等式 13（15 分）如图，设平面 AC 和 BD 相交于 BC，它们所成的一个二面角为 45，P 为平面 AC 内的 一点， Q 为面 BD 内的一点， 已知直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影， 并且 M 在 BC 上又设 PQ 与平面 BD 所成的角为 ，CMQ=（090），线段 PM 的长为 a，求线段 PQ 的长 14（15 分）设 O 为复平面的原点，Z1和 Z2为复平面内的两动点，并且满足： （1）Z1和 Z2所对应的复数的辐角分别为定值 和； （2）OZ1Z2的面积为定值 S 求
4、OZ1Z2的重心 Z 所对应的复数的模的最小值 15（15 分）已知两点 P（2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段 AB 在直 线 L 上移动，如图，求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程） 16（14 分）设， （1）证明不等式对所有的正整数 n 都成立； （2）设，用定义证明 17（12 分）设 a，b 是两个实数， A=（x，y）|x=n，y=na+b，n 是整数， B=（x，y）|x=m，y=3m2+15，m 是整数， C=（x，y）|x2+y2144， 是平面 XOY 内的点集合，讨论是否存在 a 和 b 使得 （1）AB（ 表
5、示空集）， （2）（a，b）C 同时成立 18已知曲线 y=x36x2+11x6在它对应于 x0，2的弧段上求一点 P，使得曲线在该点的切线在 y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值 1985 年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 1（3 分）如果正方体 ABCDABCD的棱长为 a，那么四面体 AABD 的体积是（） ABCD 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题 分析：画出图形，直接求解即可 解答：解：如图四面体 AABD 的体积是 V= 故选 D 点评：本题考查棱锥的体积，是基础题 2（3 分）的（） A 必
6、要条件B 充分条件 C 充分必要条件D 既不充分又不 必要的条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题 分析：先解出 tanx=1 的解，再判断两命题的关系 解答：解： 由 tanx=1 得， 当 k=1 时，x=， 固由前者可以推出后者， 所以 tanx=1 是的必要条件 故选 A 点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单 3（3 分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以 为周期的偶 函数？（） A y=x2（xR） B y=|sinx| （xR） C y=cos2x （xR） D y=esin2x （xR） 考点：三角函
7、数的周期性及其求法 专题：压轴题 分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可 解答：解：y=x2（xR）不是周期函数，故排除 A y=|sinx|（xR）周期为 ，且根据正弦图象知在区间上是增函数 故选 B 点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象 4（3 分）极坐标方程 =asin（a0）的图象是（） ABCD 考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题；压轴题 分析：先将原极坐标方程两边同乘以 后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断 解答：解：极坐标方程 =asin（a0） 2=asin， x2+y2=ay，它表示圆心在（0， ）的圆 故选 C 点评：本
8、题考查点的极坐标和直角坐标的互化， 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置， 体会在极坐 标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标的互化 利用直角坐 标与极坐标间的关系，即利用 cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得 5（3 分）用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 20000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重 复数字的五位数，共有（） A 96 个B 78 个C 72 个D 64 个 考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；压轴题；分类讨论 分析：根据题意， 分析首位数字， 要求这个五位数比 20000 大， 则首位必须是 2， 3， 4，
9、 5 这 4 个数字， 由于百位数不是数字 3，分 2 种情况讨论，百位是 3，百位是 2，4，5，分别求得其情况数 目，由乘法原理，计算可得答案 解答：解：根据题意，要求这个五位数比 20000 大，则首位必须是 2，3，4，5 这 4 个数字， 分 2 种情况讨论， 当首位是 3 时，百位数不是数字 3，有 A44=24 种情况， 当首位是 2，4，5 时，由于百位数不能是数字 3，有 3（A44A33）=54 种情况， 综合可得，共有 54+24=78 个数字符合要求， 故选 B 点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字 3”的要 求 二、解答题
10、（共 13 小题，满分 90 分） 6（4 分）求方程解集 考点：任意角的三角函数的定义 专题：计算题 分析：直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解 解答： 解：方程化为： 所以 方程解集为： 点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题 7（4 分）设|a|1，求 arccosa+arccos（a）的值 考点：反三角函数的运用 专题：计算题 分析：直接应用反函数的运算法则，求解即可 解答：解：arccosa+arccos（a）=arccosa+arccosa= 点评：本题考查反函数的运算，是基础题 8（4 分）求曲线 y2=16x+64 的焦点 考点：抛物线的简单性质
11、 专题：计算题；转化思想 分析：先把曲线方程整理成标准方程，设 x4=t，则可求得 y2=16t 的焦点坐标，则抛物线 y2=16 （x4）的焦点坐标可得 解答：解：整理曲线方程可得 y2=16（x4） 令 x4=t，则 y2=16t，焦点坐标为（4，0） y2=16（x4）的焦点为（0，0） 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了学生对抛物线基础的灵活运用 9（4 分）设（3x1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值 考点：二项式系数的性质 专题：计算题 分析：对等式中的 x 赋值 1 求出各项系数和 解答：
12、解：令 x=1 得 26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 故 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26 点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法 10（4 分）设函数 f（x）的定义域是0，1，求函数 f（x2）的定义域 考点：函数的定义域及其求法 分析：函数 f（x）的定义域是0，1，函数 f（x2）中 x20，1，求解即可 解答：解：函数 f（x）的定义域是0，1，函数 f（x2）中 x20，1，解得 x1，1 点评：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 11（7 分）解方程 log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+
13、1） 考点：对数的运算性质；对数函数的定义域 专题：计算题 分析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验 根 解答： 解：由原对数方程得， 解这个方程，得到 x1=0，x2=7 检验：x=7 是增根， 故 x=0 是原方程的根 点评：本题考查对数的运算性质，对数函数的定义域 12（7 分）解不等式 考点：其他不等式的解法 专题：计算题；分类讨论 分析： 分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时， 将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可 解答： 解：，解得；（4 分） 或，解得1x2；（8 分） 综上所述，解得（12 分
14、） 点评：此题主要考查根号下的不等式的求解 13（15 分）如图，设平面 AC 和 BD 相交于 BC，它们所成的一个二面角为 45，P 为平面 AC 内的 一点， Q 为面 BD 内的一点， 已知直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影， 并且 M 在 BC 上又设 PQ 与平面 BD 所成的角为 ，CMQ=（090），线段 PM 的长为 a，求线段 PQ 的长 考点：平面与平面之间的位置关系 专题：计算题 分析：过点 P 作平面 BD 的垂线，垂足为 R，由 PQ 与平面 BD 所成的角为 ，要求 PQ，可根据 ，故我们要先求 PR 值，而由二面角的平面角为 45，我们可得 NR=
15、PR，故我们 要先根据 MR=，及 a2=PR2+MR2，求出 NR 的值 解答：解：自点 P 作平面 BD 的垂线，垂足为 R， 由于直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影， 所以 R 在 MQ 上，过 R 作 BC 的垂线，设垂足为 N， 则 PNBC（三垂线定理 因此PNR 是所给二面角的平面角，所以PNR=45 由于直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，所以PQR= 在 RtPNR 中，NR=PRcot45，所以 NR=PR 在 RtMNR 中，MR=， 在 RtPMR 中， 又已知 090，所以 在 RtPRQ 中， 故线段 PQ 的长为 点评：本题考查的知识点
16、是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据已知条件由未知的 结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键 14（15 分）设 O 为复平面的原点，Z1和 Z2为复平面内的两动点，并且满足： （1）Z1和 Z2所对应的复数的辐角分别为定值 和； （2）OZ1Z2的面积为定值 S 求OZ1Z2的重心 Z 所对应的复数的模的最小值 考点：复数的基本概念；复数求模 专题：综合题 分析：设出 Z1，Z2和 Z 对应的复数分别为 z1，z2和 z，由于 Z 是OZ1Z2的重心，表示其关系，求解 即可 解答：解：设 Z1，Z2和 Z 对应的复数分别为 z1，z2和 z，其中 z1=r1（co+isin）， z2=r2（coisin） 由于 Z 是OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义， 则有 3z=z1+z2=（r1+r2）cos+（r1r2）isin 于是|3z|2=（r1+r2）2cos2+（r1r2）2sin2 =（r1r2）2cos2+4r1r2cos2+（r1r2）2sin2 =（r1r2）
