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1、 九年级上册知识点总结 （数学）2017年12月 第二十一章 一元二次方程22.1 一元二次方程知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：其中， 是二次项， 是二次项系数； 是一次项，b 是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次解一元二次
2、方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义可解得 . （2） 直接开平方法适用于解形如或形式的方程，如果 p0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程
3、的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； （3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程 ，如果 ，那么方程的两个根为 ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数
4、a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：，一般a 化为正值 确定公式中a,b,c 的值，注意符号； 求出的值； 若则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示它，即,，方程有两个不相等的实数根一元二次方程根的判别式 =0 ，方程有两个相等的实数根0，方程无实数根 22.23 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1
5、） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义形如或 配方法完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法所有一元二次方程 因式分解法当ab=0，则a=0 或b=0一边为0，另一边易于分
6、解成两个一次因式的积的一元二次方程。 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（了解） 若一元二次方程的两个根为, 则有 若一元二次方程有两个实数根 ， 则有22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程
7、的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率
8、（4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 第二十二章 二次函数知识点一：二次函数的定义1.二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2.二次函数的图象与性质（1）二次函数基本形式的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小（2）的图象与性质：上加下减（3）的图象与性质：左加右减（4）二次函数的图象与性质3. 二次函数的图像与性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，
9、随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数图象的画法 画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 可以由抛物线经过适当的平移得到。具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”（3
10、）用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图象上三点或三对，的值，通常选择一般式.顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：，顶点是，对称轴是直线.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线中，的作用决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.和共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线的对称轴是直线，故如果时，
11、对称轴为轴；如果（即、同号）时，对称轴在轴左侧；如果（即、异号）时，对称轴在轴右侧.的大小决定抛物线与轴交点的位置当时，所以抛物线与轴有且只有一个交点（0，），故如果，抛物线经过原点；如果,与轴交于正半轴；如果,与轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此二次函数图象与轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与轴没有交点，这时，则方程
12、没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）轴与抛物线得交点为.（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交
13、点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点； 方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的
14、一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转中心， 转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2） 对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋
