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1、第二讲 变分法与最优控制,主要内容,2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题 无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件 2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题 引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 求解综合型（波尔扎）问题,2.1 变分法概述 1、泛函定义 2、泛函的连续性 3、泛函的极值 4、线性泛函 5、泛函的变分 6、泛函变分的求法 7、泛函变分的规则 8、泛函极值的条件,2.1 变分法概述,1、泛函定义 定义： 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量y为依赖于函数x(t)的泛函，记为：y=J x(t
2、)。,说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。,【例2.1】 是一个泛函。 变量J的值是由函数x(t) 的选取而确定。 当 时, 有 。 当 时, 有 。,【例2.2】曲线的弧长 求：平面上连接给定两点A(x0，y0)和B(x1，y1)的曲线的弧长 J。 A、B两点间的曲线方程为：y=f(x) A、B两点间的弧长为：,泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况，例如：,求一般函数极值 微分法 求泛函极值 变分法,2、泛函的连续性,函数相近(零阶相近) 当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值，即 x(t)-x
3、0(t) , t1t t2 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。,一阶相近 当函数x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数 和 之差的绝对值，即 t1 t t2 都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的。,注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。,K阶相近 当 t1 t t2 都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k阶相近的。,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：
4、 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,显然，式（2.1）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（2.1）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。,（2.1）,（2.2）,零阶距离,零阶距离,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,（2.1）,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离
5、定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函
6、数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函
7、数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数
8、的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,零阶距离,零阶距离,函数间距离 在不同的函数空间，函数间的距离定义也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离： 在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,泛函的连续性 如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个0，当 dx(t)，x0(t) 时，存在 Jx(t)Jx0(t) 那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。 根据所采用的函数之间距离定义的不同，对应的泛函分别称为零阶连续泛函(2.1)或k阶
9、连续泛函(2.2)。,3、泛函的极值,如果是在与仅仅具有零阶接近度的曲线的泛函中比较得出的极值，称为强极值。 如果是在与 具有一阶或一阶以上接近度的曲线 的泛函中比较得出的极值，则称为弱极值。,4、线性泛函,连续泛函如果满足下列条件： （1）叠加原理 ： Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t) （2） 齐次性： Jcx(t)=c Jx(t),其中，c是任意常数，就称为线性泛函。 例如：,都满足上述两个条件，故均为线性泛函。,5、泛函的变分,宗量的变分 若函数x(t)是变量J的自变量函数，则称x(t)为泛函Jx(t)的宗量函数。 宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的
10、差：,也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。 当一个泛函具有变分时，称该泛函是可微的。,泛函的变分 当宗量x(t)有变分时，泛函的增量可以表示为,其中，Lx(t)，x(t)是关于x(t)的线性连续泛函； rx(t)，x(t)是关于x(t)的高阶无穷小； Lx(t)，x(t)称为泛函的变分，记为,线性主部,6、泛函变分的求法,定理21 连续泛函J(x)的变分，等于泛函 对的导数在=0 时的值. 即,定理22 连续泛函J(x)的二次变分定义为,（证明略）,（证明略）,7、泛函变分的规则,求泛函 的变分。,【例2.3】,8、泛函极值的条件,泛函极值的必要条件： 定理23 连续可微泛函J(x) 在
11、x0(t)上达到极值的必要条件为：J(x)在x=x0处必有,泛函极值的充要条件： 定理24 设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处达到极小值的充要条件为： 同理，设可微泛函J(x)存在二次变分， 则在x=x0处达到极大值的充要条件为：,主要内容,2.1 变分法概述 2.2 无约束最优化问题 无约束固定端点泛函极值必要条件 无约束自由端点泛函极值必要条件 2.3 等式约束最优化问题 2.4 变分法求解最优控制问题 引入哈密顿函数求解拉格朗日问题 求解综合型（波尔扎）问题,2.2 无约束最优化问题,1、无约束固定端点泛函极值必要条件,问题 2-1,无约束固定终端泛函极值问题为:,其中,
12、及x(t)在t0,tf上连续可微， t0及tf固定，,求满足上式的极值轨线x*(t)。,x(t0)= x0，x(tf)= xf，,定理25 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，则泛函,达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程,其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的。,欧拉(Euler)方程,（证明略）,边界条件,或,欧拉方程的全导数形式,在 中，第二项 为全导数,令,得欧拉方程的全导数形式,或,【例2.4】,求泛函 在边界条件,下的极值曲线及极值.,几种特殊的欧拉方程（可以得到封闭形式的解）,被积函数L不依赖于 ，即 被积函数L不依赖于
13、x， 即 被积函数L不依赖于t， 即 在这种情况下，欧拉方程的首次积分为 其中c是待定的积分常数。实际上，将上式左边对t求全导数，有,被积函数L 线性地依赖于 ，即,【例2.5】 最速降线(又称捷线)问题,设在竖直平面内有两点A和B，它们不在同一条铅垂线上。现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑动，如果不考虑各种阻力的影响，问应取怎样的路径，才能使所经历的时间最短？,在A、B两点所在的竖直平面内选择一坐标系，如上图所示。A点为坐标原点，水平线为x轴，铅垂线为y轴。,结论:最速降线是一条圆滚线。,对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。,定理26 在n
14、维函数空间中，若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的，则泛函,达到极值的必要条件是曲线X(t)满足向量欧拉方程,其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的。,向量欧拉方程,或,向量欧拉方程,向量欧拉方程,可写成标量方程组,【例2.6】 求泛函 满足边界条件 的极值函数。,思考：能否利用MATLAB符号工具箱求解微分方程组？,当极值曲线x*(t)的端点变化时，要使泛函 达到极小值， x*(t)首先应当满足欧拉方程：,若端点固定,可以利
15、用端点条件:,确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。,问题：若端点可变，如何确定这两个积分常数？,2.2 无约束最优化问题,2、无约束自由端点泛函极值必要条件（横截条件）,图形分析, , 都固定，图a,即,即, 固定, 自由 图 b,即,因为 自由 所以,终端仅在 上滑动,求出最优,许多状态轨线, 自由， 固定 ，图c 则横截条件变为：,始端仅在 上滑动, 端点变动的情况：,自由端点，无约束条件的变分，如图:,始点 在曲线 上变动,终点 在曲线 上变动,问题描述：假定极值曲线的始端A(t0，x0)是固定的，而终端B(tf，xf)是可变的，并沿着给定的曲线,现在的问题是：需要确定一条从给定的点A(t0，x0)到给定的曲线 上的某一点B(tf，xf)的连续可微的曲线x(t) ，使得泛函,达到极小值。,变动，如右下图所示。,横截条件,定理2-7 若曲线x(t)由一给定的点(t0，x0)到给定的曲线x(tf)=(tf)上的某一点(tf，xf)，
