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1、第14章 勾股定理,14.1 勾股定理,第1课时 直角三角形三边的关系 -认识勾股定理,1,课堂讲解,勾股定理 勾股定理与面积的关系,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM- 2002)吗?在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、 远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标. 会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证 明勾股定理的弦图.,知1导,1,知识点,勾股定理,本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的 一种奇妙关 系，让我们首先观察下面的正方形瓷砖铺成 的地面. 图14. 1. 1是正方形瓷砖铺成的地 面，观察图
2、中着色的三个正方形,显 然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即 AC2 + BC2 = AB2, 这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平 方和 等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中， 两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢？,知1导,试一试,观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平 方厘米， 那么可以得到： 正方形P的面积= 平方厘米； 正方形Q的面积= 平方厘米； 正方形R的面积= 平方厘米. 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是 . 由此，我们得出RtABC的三边长度之间存在的关 系 是 .,知1导,做一做,画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直
3、角三角形， 然后用刻度尺量 出斜边的长，并验证上述关系对这个直角 三角形是否成立.,勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方； 数学表达式：在RtABC中，C90，ABc， ACb，BCa，则a2b2c2. 要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数 量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2； (4)运用勾股定理时要分清斜边、直角边,知1讲,利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a
4、2b2 c2及两边之间的关系式；三化简,知1讲,在RtABC中，已知B90, AB=6,BC=8. 求AC. 根据勾股定理， 可得 AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC =,知1讲,例1,解：,（来自教材）,应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.,在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别是a，b，c. (1)已知ab6，求c； (2)已知c3，b2，求a； (3)已知ab21，c5，求b.,知1讲,例2,分清斜边和直角边因为a，b，c分别是 RtABC的三边，所以可以用勾股定理解决 问题,导引：,（来自点拨）,知1讲,(1)C90，ab6， 由勾股定理，得
5、c (2)C90，c3，b2， 由勾股定理，得a (3)ab21，a2b. 又C90，c5， 由勾股定理，得(2b)2b252，解得b,解：,（来自点拨）,已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长,知1讲,例3,第三边的长为,错解：,（来自点拨）,由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此 将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长所以需要分情况求解,错解分析：,知1讲,(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长 为 (2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边 的
6、长为,正确解法：,（来自点拨）,运用勾股定理求第三边的长时，一般都要经过 “一分二代三化简”这三步；若通过题目中的条件 找不到斜边，则需要运用分类讨论思想求解,知1讲,知1练,1,（来自教材）,在 RtABC 中，AB= c，BC = a，AC= b, C90. (1)已知 a = 6, c = 10,求 b; (2)已知 a = 24, c = 25,求 b.,知1练,若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2,2,（来自典中点）,知1练,3,已知一个直角三角形的两条边长
7、分别为3和4，则第三条边长的平方为() A25 B7 C7或25 D不确定,（来自典中点）,知2讲,2,知识点,勾股定理与面积的关系,基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地 结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系 这一“数”结合起来，它是数形结合思想方法的典 范,观察图14.15中的图形，回答问题： (1)如图，DEF为直角三角形，正方形P的面积为9， 正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为_； (2)如图，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角 形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系 式是 (用图中字母表示)； (3)如图，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4， 分
8、别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2) 中得出的结论求阴影部分的面积,知2讲,例4,（来自点拨）,24,S1S2S3,知2讲,(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2 DE2EF2，即正方形M的面积91524； (2)S1 ，S2 ，S3 ，另外由勾股定理可知AC2BC2 AB2，所以S1S2S3； (3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直 角三角形的面积大半圆形的面积，由(2)可知 两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所 以阴影部分的面积直角三角形的面积,导引：,（来自点拨）,知2讲,设两个小半圆形的面积分别为S1，S2， 大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S， 由(2
9、)知，S1S2S3， 则S阴影S1S2SS3S 346.,解：,（来自点拨）,与直角三角形三边相关的正方形、半圆形及正 多边形都具有相同的结论：两直角边上图形面积的 和等于斜边上的图形面积本例考查了勾股定理及 正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类 题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直 径有平方关系，就很容易联想到勾股定理,知2讲,知2练,如图，字母B所代表的正方形的面积是() A12 B13 C144 D194,1,（来自典中点）,知2练,如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为() A3 B4 C5 D7,2,（来自典中点）,知2练,如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是() A13 B26 C47 D94,3,（来自典中点）,1.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三 角形三边的关系 2由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些 变形关系式：c2a2b2(ab)22ab(ab)2 2ab；a2c2b2(cb)(cb)等,1.必做：请你完成教材P111 T2；P112 T2. 2.补充：请完成典中点剩余部分习题.,
