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1、12.3 等腰三角形（第二课时） 随堂检测 1. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的角为50，则 底角 B的度数为 _ 2. 已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9 和 12 两部分，则等腰三角形的 腰长为 _ 3. 如图，已知AB=AC ， A=36o， AB的中垂线MN 交 AC于点 D，交 AB于点 M ，求证： （1）BD平分 ABC （2） BCD为等腰三角形 4 沿矩形 ABCD的对角线BD翻折 ABD得 A / BD,A / D交 BC于 F, 如图所示 , BDF是何种三角 形？请说明理由. 典例分析 已知，如图所示，在ABC 中，
2、B=2C， AD 是 ABC 的角平分线，请说明 AC=AB+BD 。 分析：利用线段的截长补短，构造全等三角形，把分散的条件集中到一起，来解决此题。 方法一：采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段。 解：在线段AC上截取点E，使 AE=AB ，连结 DE 。 AD平分 BAC BAD= DAE 在 ABD和 AED中 AB=AE BAD= DAE AD=AD ABD AED BD=DE B=AED B=2C AED=2 C AED= C+EDC C= EDC ED=EC BD=EC AC=AE+EC AC=AB+BD 方法二：采用补短法： 延长较短线段和较长线段相等。 解：延长线
3、段AB至点 F，使 AF=AC ，连结 DF 。 AD平分 BAC FAD= CAD 又 AC=AF AD=AD AFD ACD F= C ABC=2 C ABC=2 F 又 ABC= F+BDF F= BDF BF=BD AF=AB+BF AF=AB+BD AC=AB+BD 点评：利用构造全等三角形来解决一些问题是我们在做题过程中经常遇到的解题方 法， 下面就利用一例题来说明一下利用三角形全等来证明一条线段等于另外两条线段和的方 法。 课下作业 拓展提高 1. 如图，已知线段a，h 作等腰 ABC ，使 AB AC，且 BC a， BC 边上的高ADh. 张 红的作法是：（1）作线段BCa；
4、（ 2）作线段BC 的垂直平分线MN ， MN 与 BC 相交于 点 D；（ 3）在直线MN 上截取线段h；（ 4）连结 AB，AC， ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（） A. （1）B. （2）C. （3）D. （4） 2.已知点 A 和点 B，以点 A 和点 B 为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（） A.3 个B.4 个C.6 个D.7 个 3. ABC 中， ABAC，AB 的垂直平分线MN 交 AC 于 D，若A36 ，则下列结论中成立 的有 _，并且证明结论的正确性 C72 BD 是ABC 的平分线 ABD 是等腰三角形 BCD 的周
5、长 AC+BC 4.如图，在 ABC 中， ACB=9 0，D是 BC延长线上一点，E是 BD垂直平分线与AB的交 点， DE交 AC于 F. 求证：点 E 在 AF的垂直平分线上. A E 1 F 2 B C D 5.如图所示，在ABC 中， D 为 BC 上的一点，连结AD ，点 E 在 AD 上，并且 1=2， 3=4。求证： AD 垂直平分BC。 6. 如图所示，BACABDACBD，点 O 是ADBC、的 交点，点E是AB的中点试判断OE 和AB的位置关系，并给出证明 C O E A B D D N M C B A 4 3 2 1 E D CB A 7.如图，在ABC 中，BP、CP
6、 分别是 ABC 和ACB 的平分线， 且 PD /AB， PE/AC，BC=5cm 求PED 的周长 8.已知：三角形ABC 中， A90， ABAC，D 为 BC 的中点， （1）如图 1， E，F 分别是 AB，AC 上的点，且BEAF， （2）试说明 DEF 为等腰直角三角形 （2）若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有BEAF， （3）其他条件不变，那么，DEF 是否仍为等腰直角三角形？ （4）请说明理由 . 9.小明将三角形纸片()ABCABAC沿过点 A 的直线折叠，使得AC 落在 AB 边上，折痕 为 AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点 D
7、重合，折痕为EF， 展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明 理由 （2）实践与运用 将矩形纸片ABC D沿过点 B 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图 ）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在 BE 上的点D处，折痕为EG（如图）；再 展平纸片（如图）求图中的大小 体验中考 1（2009 年山东泰安市）如图， ABC 中， D 是 BC 的中点， DE AB， BF 平分 ABC ， 交 DE 于点 F，若 BC=6，则 DF 的长是 A.2 B.3 C. 2 5 D.4 A C D B 图 A C D B 图 F E E
8、 D C F B A 图 E D C A B F G C D A D E C B F G 图图 2.(2008新疆乌鲁木齐市) 在一次数学课 上，王老师在黑板上画出图，并写下了 四个等式： ABD C，BEC E， BC，BAEC D E 要求同学从这四个等式中选出两个作为 条件，推出AED是等腰三角形请你试着完成 王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可） 参考答案： 随堂检测 1. 解析： 已知条件中AB的垂直平分线 AC 相交的具体位置不确定，从题意上看， 故只考虑 B E D A C AC的垂直平分线与另一腰（或另一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱”，出现漏解 现象所以此问题应分
9、为AC的垂直平分线与另一腰AB相交和A C的垂直平分线与另一腰 AB的延长线相交两种情形，如图1 所示，即 （1）当AC的垂直平分线D E与腰AC相交， 且50AED时，底角 B 的度数为 65 ；（ 2）AC的垂直平分线D E与腰AC的延长 线相交，且50AED时，则140BAC，所以底角B的度数为25 2. 分析 ： 已知条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两部分 的大小，从题意上看，故只考虑一部分长度为9（或 12）时，会掉进命题“陷阱”，出现漏 解现象所以此问题应分为一部分长度为9 和 12 两种情形，如图2 所示，即（1）当 AC+AD=12、BD+BC=9
10、 时，解得AC=8、BC=5；（2）当AC+AD=9、BD+BC=12 时，解得AC=6、BC=9所以它的腰长为8 或 6 总之， 解等腰三角形问题时，若题中未给出图形，则应考虑按一定标准进行分类讨论，获取 完整的解答，更应尽量避免因思维定势造成漏解的情形 3.证明： AB=AC ， A=36o ABC= C=72 o MN为 AB的中垂线 AD=BD 则 A=1=36o A C B D E E A D B C （1）（ 2） 图 1 图 2 A D B C （2） A C B D （1） 2=36o， BDC=180 o-36 o-72o=72o，因此， BD平分 ABC BCD为等腰三角形
11、 4. 解 : BDF是等腰三角形 ABD翻折后得 A / BD ABD A / BD 1 2 四边形ABCD 是矩形 AD BC 1 3 2 3 BFDF （等角对等边） BDF是等腰三角形 课下作业 拓展提高 1. 解析：本题主要考查尺规作图的语言正确性的判断. 依据尺规作图的要求于方法辨别张红 每步作图的可行性.（1）、（ 2）、（4）均符合基本作图的要求，对于（3）在直线MN上截 去线段 h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符. 正确的语言表达为“在射线DA上截取 一点 A，使 DA=h ” . 解：选（ C）. 2. 解析：本题没有指明AB的腰还是底边，所以需分类讨论 （1）以AB
12、为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图2； （2）以AB为腰，有C3、C4、C5、C6四个点符合条件，如图3 综合（ 1），（ 2）可知一共可作出6 个等腰三角形，所以选（C） 3. 分析： 这是课本上例题改编的，平时的学习要注意把课本知识知识学扎实，本题考查的知 识点较多需要综合运用知识解决问题的能力要求较高正确的结论有 4. 分析：本题可运用线段垂直平分线的性质定理证明BE=DE ， 再结合等腰三角形两底角相等、 对顶角相等及等角的余角相等推出EA=EF ，从而运用线段垂直平分线的判定定理获证. 证明： E 是 BD的垂直平分线上的一点， EB=ED. A 又 ACB=90 ， E A=
13、90 B， 2=90 D. 1 F 2=A. 2 又 1=2， B C D 1=A. EF=EA. 点 E 在 AF的垂直平分线上. 5. 解析：通过条件得出EB=EC ，AB=AC ，从而证明出AD 垂直平分 BC 。 证明： 因为 1=2， 所以 EB=EC ， 所以点 E在线段 BC的垂直平分线上。 又因为 1= 2， 3=4， 所以 ABC= ACB ， 所以点 A也在线段BC的垂直平分线上。 所以 AD垂直平分BC 。 6. 解析：通过所给条件可以证出 BACABD ，得出O BAO ABO AOB，利用三线合一即可 解：O EAB 证明：在BAC和ABD中， . ACBD BACA
14、BD ABBA ， ， BACABD 4 3 2 1 E D CB A 图 1 O BAO AB， O AO B 又AEBEO EAB， 7. 解析：因为BP是ABC的平分线，CP是ACB的平分线，所以 1=2，3=4， 因为PD/AB，所以 1=5，所以 2=5，所以BD=PD（等角对等 边） 因为PE/AC，所以 4=6，所以 6=3，所以PE=EC，（等角对等边） 所以PDE的周长等于PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm 点评： “等角对等边”是等腰三角形识别的重要方法，本题主要通过角的平行线以及平行线 特征，运用“等边对等角”来解决问题的 8. 解析：第（ 1）问要说明DE
15、F为等腰直角三角形，就要说明DE=DF且 EDF=90 0， 这就要构造两个三角形全等，由题意BEAF，再加上三角形ABC是等腰直角三角形， D为BC的中点的条件，显然要连接AD而达到目的；第（2）问，只要在第（1）问的基础上 很容易猜想到，说明方法也类似 解：连结AD，因为A BACBAC90 ，D为BC的中点， 所以ADBC，BDAD，所以BDAC45， 又BEAF，所以BDEADF（S.A.S ） 所以EDFDBDEADF 所以EDFEDAADFEDABDEBDA90 所以DEF为等腰直角三角形 若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图2 所示连结AD 因为ABACBAC 90，D为BC的中点，所以ADBD，ADBC， 所以DACABD45所以DAFDBE135， 又AFBE，所以DAFDBE（S.A.S ），所以FDED， FDAEDBEDFEDBFDBFDAFDB ADB90，
