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1、 5解析几何自主学习 （一）1.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点，且的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于两点，与椭圆交于两点，且，当取得最小值时，求直线的方程解：（1）由的面积可得： -又椭圆C过点,由解得，所以椭圆C标准方程为 （II）设直线l的方程为，则原点到直线l的距离所以将代入椭圆方程，得由判别式，解得由直线直圆相交得，所以 设，则来源:Zxxk.Com所以所以因为，所以则当时，取得最小值，此时直线方程为 来源:学科网2.已知抛物线的焦点为，过点，斜率为1的直线与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于不同
2、于的两点、，若直线，分别交直线于两点，求取最小值时直线的方程.解：（1），直线的方程为，由，联立，得， ， 抛物线的方程为：.（2）设，直线的方程为：，来源:学。科。网Z。X。X。K联立方程组消元得：，. .设直线的方程为，联立方程组解得，又，.同理得. .令，则. .当即时，取得最小值.此时直线的方程为，即.3.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，.（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.解：（I）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且又，得，故所求椭圆方程为.（II）联立，可得.设、，则，所以为
3、所以的中点坐标为， 因此直线的方程为，从而点为，设，令，则，因此当，即时取得最大值.4.已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.解：（1）抛物线的焦点为，得，或（舍去）抛物线的方程为.（2）点在抛物线上，得，设直线为，由得，；， ，由，得，同理；当时，此时直线方程：.，所以5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点若PQN的面积为3，求直线的斜率解：（1）因为椭
4、圆的上顶点为，所以，又圆经过点，所以 所以椭圆的方程为 （2）若的斜率为0，则，所以PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0 设直线的方程为，由消得，设，则， 所以 . 直线的方程为，即，所以 所以PQN的面积 ，解得，即直线的斜率为来源:学#科#网Z#X#X#K6.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，短轴长为，已知是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程;（2）若抛物线的准线上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程.解：（1） ，所以椭圆方程为 所以抛物线方程为 （2）设直线方程为，与直线的方程联立可得点，联立跟椭圆方程消去
5、，整理得，解得，可得，则直线方程，令，解得，即有，来源:学|科|网Z|X|X|K整理得, 解得直线的方程为： 7.已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知分别为椭圆的左右顶点，,，且,直线与分别与椭圆交于两点，（i）用表示点纵坐标；（ii）若面积是面积的5倍，求的值解析：（1）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：. （2）（i） ，且 ， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由 得 ，点E的纵坐标 ，由 得 ， ，（ii） ， ， ， ，即，解得来源:Zxxk.Com8.椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为1/2.（I）求椭圆的标准方程；（II）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是 的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
