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1、微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题2020高考数学(文)二轮复习微专题聚焦【考情分析】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的常考题型,无论是选择题、填空题,还是解答题,只要考查与曲线有关的运动变化,都可能涉及探究定点或定值,注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透,因而这类问题考查范围广泛,命题形式新颖,难度一般较大。【前备知识】1、直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:(1)相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,故0是直线与双曲线相交的充分
2、不必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件.(2)相切:=0直线与椭圆相切;=0直线与双曲线相切;=0直线与抛物线相切.(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值.(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由抛物线的定义得,3+=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,代入点T(3,t),解得.(2)设直线AB的方程为x=my+n,联立消元得y2-4my-4
3、n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n,由=5,得,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,即n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想,核心素养是数学运算.求解定点问题常用的方法1、目标等式法求定点目标等式法是利用目标等式恒成立的条件,即对应项的系数相等,建立方程(组),求解定点的方法.解决问题的关键如下:(1) 坐标化,将题目中的已知条件坐标化处理;(2) 建立目标等式,利用坐标化的结论建立目标等式,如;(3) 列方程(组),根据等式恒成立的条件,列出方程或方程组,如;(4) 找定点
4、,解方程(组),可得直线或者曲线过的定点.2、 “特殊探路,一般证明”,即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目标的一般性证明。3、 “一般推理,特殊求解”即先由题设条件得出曲线的方程,在根据参数的任意性得到定点坐标。4、 求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程来证明。考点二 圆锥曲线的定值问题【必备知识】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:从特殊到一般求定值:其解题流程为:第一步:在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;第二步:巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入
5、,简化运算引进变量法即运用函数的思想方法:其解题流程为:第一步:变量,选择适当的动点坐标或动线中的系数为变量;第二步:函数,把要证明为定值的量表示成上述变量的函数;第三步:定值,把得到的函数化简,消去变量得到定值.【例2】 已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标; (2)求证:直线与椭圆相切; (3)判断是否为定值,并说明理由.【解析】(1)由题意,所以离心率,左焦点.(2)由题知,即.当时直线方程为或,直线与椭圆相切,当时,由,得,即,所以,故直线与椭圆相切.(3)设,当时,所以,即,当时,由,得,则,.因为.所以,即,故为定值.【方
6、法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、分类讨论思想,核心素养是数学运算.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【类比训练】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知点为动直线与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在定点,使得为定值?若存在,试求出点的坐标
7、和定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由,得,即,又以原点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆为,且圆与直线相切,所以,代入得,则.所以椭圆的方程为.(2)由得,且,设,则,根据题意,假设轴上存在定点,使得为定值,则有要使上式为定值,即与无关,则应,即,此时为定值,定点为.考点三 圆锥曲线中的证明问题【必备知识】圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等;证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥
8、曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明 【例3】已知动点P到点的距离比到直线x=-1的距离小,设点P的轨迹为曲线C.(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)过曲线C上一点M作两条直线与曲线C分别交于不同的两点A,B,若直线的斜率分别为,且,证明:直线AB过定点.【解析】(1)(1)由题意可知,动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等,所以点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为 (2)易知,设点,直线的方程为:, 联立,得,所以,所以因为,即,所以,所以,所以或当时,直线的方程:过定点与重合,舍去;当时,直线的方程:过定点,所以直线过定点.
9、【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想,核心素养是数学运算.求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程时先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法):动点P(x,y)依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,
10、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.【类比训练】椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,点为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.【解析】(1)因为,所以.又椭圆过点,所以+=1.由,解得a2=6,b2=4,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立,得(3k2+2)x2+6kx-9=0.所以x1+x2=-,x1x2=-,易知B(0,-2),所以kBCkBD=k2+=k2+
11、3k-(3k2+2)=-2,所以对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.【自我总结】圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明,比如涉及线段或角相等以及位置关系等等(注意一些常用的结论,如等腰三角形两底角相等,两直线斜率之和为0等)证明时,常把几何量用坐标表示,建立某个变量的函数,用代数方法证明,常将斜率利用整体法求解做高考真题 提能力素养【解答题】1、(2019北京文19)已知椭圆的右焦点为,且经过点()求椭圆C的方程;()设O为原点,直线与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点【解析】(I)由题意得,b2=1
12、,c=1所以a2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为()设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为令y=0,得点M的横坐标又,从而同理,由得则,所以又,所以解得t=0,所以直线为,所以直线恒过定点(0,0)2、(2019全国III文 T21)已知曲线C:y=,D为直线y=上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点:(2)若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.【解析】(1)设,则.由于,所以切线DA的斜率为,故 ,整理得 设,同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为.由,
13、可得.于是.设M为线段AB的中点,则.由于,而,与向量平行,所以.解得t=0或.当=0时,=2,所求圆的方程为;当时,所求圆的方程为.3、(2018全国卷)已知斜率为的直线与椭圆交于,两点线段的中点为(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且证明:【解析】(1)设,则,两式相减,并由得由题设知,于是由题设得,故(2)由题意得,设,则由(1)及题设得,又点在上,所以,从而,于是同理所以故.4、(2017新课标)设为坐标原点,动点在椭圆:上,过做轴的垂线,垂足为,点满足(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且证明:过点且垂直于的直线过的左焦点【解析】(1)设,则,由得 ,因为在上,所以因此点的轨迹方程为(2)由题意知设,则,由得,又由(1)知,故所以,即又过点存在唯一直线垂直与,所以过点且垂直于的直线过的左焦点5、(2017北京)已知椭圆的两个顶点分别为,焦点在轴上,离心率为()求椭圆的方程;()点为轴上一点,过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作的垂线交于点求证:与的面积之比为4:5【解析】()设椭圆的方程为由题意得解得所以所以椭圆的方程为()设,且,则直线的斜率,由,则,故直线的斜率所以直线的方程为直线的方程为联立,解得点的纵坐标由点在椭圆上,得所以又,所以与的面积之比为