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1、微专题05 圆锥曲线中的定点、定值及证明问题2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦【考情分析】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的常考题型，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖，难度一般较大。【前备知识】1、直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:(1)相交:0直线与椭圆相交;0直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0,故0是直线与双曲线相交的充分
2、不必要条件;0直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件.(2)相切:=0直线与椭圆相切;=0直线与双曲线相切;=0直线与抛物线相切.(3)相离:0直线与椭圆相离;0直线与双曲线相离;0)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值.(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由抛物线的定义得,3+=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,代入点T(3,t),解得.(2)设直线AB的方程为x=my+n,联立消元得y2-4my-4
3、n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n,由=5,得,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,即n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.求解定点问题常用的方法1、目标等式法求定点目标等式法是利用目标等式恒成立的条件，即对应项的系数相等，建立方程（组），求解定点的方法.解决问题的关键如下：（1） 坐标化，将题目中的已知条件坐标化处理；（2） 建立目标等式，利用坐标化的结论建立目标等式，如；（3） 列方程（组），根据等式恒成立的条件，列出方程或方程组，如；（4） 找定点
4、，解方程（组），可得直线或者曲线过的定点.2、 “特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明。3、 “一般推理，特殊求解”即先由题设条件得出曲线的方程，在根据参数的任意性得到定点坐标。4、 求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程来证明。考点二 圆锥曲线的定值问题【必备知识】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法（1）特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.（2）两大解法:从特殊到一般求定值：其解题流程为：第一步：在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；第二步：巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入
5、，简化运算引进变量法即运用函数的思想方法:其解题流程为：第一步：变量，选择适当的动点坐标或动线中的系数为变量；第二步：函数，把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；第三步：定值，把得到的函数化简，消去变量得到定值.【例2】 已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标; (2)求证:直线与椭圆相切; (3)判断是否为定值,并说明理由.【解析】(1)由题意,所以离心率,左焦点.(2)由题知,即.当时直线方程为或,直线与椭圆相切,当时,由,得,即,所以,故直线与椭圆相切.(3)设,当时,所以,即,当时,由,得,则,.因为.所以,即,故为定值.【方
6、法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、分类讨论思想，核心素养是数学运算.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【类比训练】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标
7、和定值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）由，得，即，又以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆为，且圆与直线相切，所以，代入得，则.所以椭圆的方程为.（2）由得，且，设，则，根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则有要使上式为定值，即与无关，则应，即，此时为定值，定点为.考点三 圆锥曲线中的证明问题【必备知识】圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥
8、曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明 【例3】已知动点P到点的距离比到直线x=-1的距离小，设点P的轨迹为曲线C.（1）求点P的轨迹曲线C的方程；（2）过曲线C上一点M作两条直线与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线的斜率分别为，且，证明：直线AB过定点.【解析】（1）（1）由题意可知，动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为 （2）易知，设点，直线的方程为：， 联立，得，所以，所以因为，即，所以，所以，所以或当时，直线的方程：过定点与重合，舍去；当时，直线的方程：过定点，所以直线过定点.
9、【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)=0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程时先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，
10、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.【类比训练】椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,点为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.【解析】(1)因为,所以.又椭圆过点,所以+=1.由,解得a2=6,b2=4,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立，得(3k2+2)x2+6kx-9=0.所以x1+x2=-,x1x2=-,易知B(0,-2),所以kBCkBD=k2+=k2+
11、3k-(3k2+2)=-2,所以对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.【自我总结】圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等(注意一些常用的结论，如等腰三角形两底角相等，两直线斜率之和为0等)证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明，常将斜率利用整体法求解做高考真题 提能力素养【解答题】1、（2019北京文19）已知椭圆的右焦点为，且经过点（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点【解析】（I）由题意得，b2=1
12、，c=1所以a2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为令y=0，得点M的横坐标又，从而同理，由得则，所以又，所以解得t=0，所以直线为，所以直线恒过定点（0，0）2、(2019全国III文 T21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，
13、可得.于是.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，所求圆的方程为.3、（2018全国卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点线段的中点为(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且证明：【解析】(1)设，则，两式相减，并由得由题设知，于是由题设得，故(2)由题意得，设，则由(1)及题设得，又点在上，所以，从而，于是同理所以故.4、（2017新课标）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且证明：过点且垂直于的直线过的左焦点【解析】（1）设,则，由得 ，因为在上，所以因此点的轨迹方程为（2）由题意知设，则，由得，又由（1）知，故所以，即又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点5、（2017北京）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为（）求椭圆的方程；（）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点求证：与的面积之比为4:5【解析】（）设椭圆的方程为由题意得解得所以所以椭圆的方程为（）设，且，则直线的斜率，由，则，故直线的斜率所以直线的方程为直线的方程为联立，解得点的纵坐标由点在椭圆上，得所以又，所以与的面积之比为
