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1、专题09 正、余弦定理解三角形2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦【考情分析】解三角形是高考的一个必考点，试题难度不大，多为中、低档题.主要命题的角度：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积或判断三角形的形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类问题在近几年高考中虽未涉及，但深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识综合命题，这一直是高考考查的重点和热点，考查学生的逻辑思维、转化化归、数形结合的思想和数学运算的核心素养.【必
2、备知识】1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有(为的外接圆的半径).2、正弦定理的变形公式：，；，；.3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，推论：；变形：.【重要结论】1、解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理：A+B+C=.（2）三角形边角不等关系：.2、诱导公式在中的应用（1）；（2）；3、已知三边（或三边之比，或三内角正弦之比）判定三角形的形状设a是三角形中最长的边，则（1）若，则是锐角三角形；（2）若，则是直角三角形；（3）若，则是钝角三角形；或（1）若 ,则是锐角三角形；（2） 若 ,则是直角三角形；（3） 若 ,则是钝角三角形；4、三角形中，最大的角不小于，最小
3、的角不大于.考点一 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题 【例1】已知中的内角的对边分别为，且.（1） 求A；（2） 若成等差数列，的面积为，求【解析】（1）因为，所以由正弦定理可得，因为，所以.因为，所以，所以.（2）因为成等差数列，所以.又因为的面积为，所以，所以，可得bc=8.所以由余弦定理可得，即，解得.【方法归纳 提炼素养】数学思想是转化与化归，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；（3）已知两边及其夹角
4、，求第三边，利用余弦定理；（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论.利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.【类比训练】在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）A. B. C. D.【解析】A.因为，所以，即，所以，又因为，所以，即，则，故选A.考点二 利用正、余弦定理等
5、知识求解与三角形有关的最值问题【例2】在中，内角的对边分别为，且（1）求角A；（2）若，求面积的最大值.【解析】（1） 即，整理得 （2） ，即 当且仅当时，取最大值，从而.所以面积的最大值为.【方法归纳 提炼素养】数学思想是转化与化归、整体代换、函数与方程思想，核心素养是数学运算.利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等来处理.解题的思路是：1、 定基本量.根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，
6、并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.2、 构建函数.根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式关系.3、 求最值.利用基本不等式或函数的单调性等求最值.【类比训练1】在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足 .（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求的最大值【解析】（1）因为，所以,即，因为，所以，又因为，所以.（2）因为D为AC的中点，所以由向量的中线定理得,两边同时平方得，又因为BD=1，所以故，当且仅当a=c时，等号成立，此时，所以的最大值为.【类比训练2】已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足，且b=3.（1
7、） 求B.（2） 求的周长的最大值.【解析】利用正弦定理对化简得,即.因为，所以.又，所以.（2）解法一：在中，由余弦定理得，所以，即，所以，当且仅当a=b=c=3时，的周长取得最大值，且最大值为9.解法二：由正弦定理得，所以，所以=又因为，所以所以当，即时，所以.考点三 利用正、余弦定理解平面四边形【例3】如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,.(1)求ACD的面积;(2)若,求AB的长.【解析】(1)因为D=2B,，所以cos D=cos 2B=2cos2B-1=.因为D(0,),所以sin D=.因为AD=1,CD=3,所以ACD的面积S=ADCDsin D=.(
8、2)在ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D=12,所以AC=.因为BC=,所以B=BAC,由正弦定理得,所以,所以AB=4.【方法归纳 提炼素养】数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学运算.利用正余弦定理解四边形的解题思路是： 1、对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题，分别在两个三角形中列出方程，组成方程组，通过加减消元或者代入消元，求出所需要的量；2、对于含有三角形中的多个量的已知等式，化简求不出结果，需要依据题意应用正余弦定理再列出一个等式，由此组成方程组通过消元法求解.【类比训练】如图，在四边形中，（1）求的正
9、弦值；（2）若，且的面积是面积的4倍，求的长.【解析】（1）在中，设，由余弦定理得，整理得，解得.所以由正弦定理得，解得 （2）由已知得，所以，化简得 所以 于是因为，且为锐角，所以，因此 考点四 利用正、余弦定理求解实际应用问题【必备知识】1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图). 2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).3.方向角：相对于某一正方向的水平角.(1)北偏东,即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图).(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似.4.
10、坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度).坡度又称为坡比.注意：两种角的区别(1)方位角:从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，方位角的范围是0,2.(2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.【例4】如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?【解析】由题意知AB= 海里,因为DAB=
11、90-45=45,DBA=90-60=30,所以ADB=180-(45+30)=105,在ADB中,由正弦定理得,所以=（海里），又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=海里,所以在DBC中,由余弦定理得即，所以CD=30(海里),所以需要的时间(小时),即救援船到达D点至少需要1小时.【方法归纳 提炼素养】数学思想是转化与化归、数形结合思想，核心素养是数学建模、数学运算.解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利
12、用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【类比训练】 如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为m.(取1.4,1.7)【解析】如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A=15,DBC=45,所以ACB=30,AB=50420=21 000(m).又在ABC中,=,所以BC=sin 15=10 500(-)(m).因为CDAD,所以CD=BCsin DB
13、C=10 500(-)=10 500(-1)7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 650做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国文11）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=，则=（ ）A6 B5 C4 D3【解析】因为的内角的对边分别为.利用正弦定理将角化为边可得 由余弦定理可得 由消去得，化简得，即. 故选A2、(2018全国卷)在中，则（ ）A B C D【解析】因为，所以由余弦定理，得，所以，故选A3、(2018全国卷)的内角，的对边分别为，若的面积为，则（ ）ABCD【解析】根据题意及三角形的面积公式知，所以，所以在中，故选C4、（2017新课标）的内角、的对边分别为、已知 ，则=（ ）A B C D【解析】由，得，即，所以，因为为三角形的内角，所以，故，即，所以由正弦定理得，由为锐角，所以，选B【非选择题组】1、（2019全国文15）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_.【解析】因为bsinA+acosB=0，所以由正弦定理，可得：，因为，所以可得，可得，因为，所以2、（2019浙江14）在中，点在线段上，若，则_，_.【解析】在直角三角形ABC中，
